Aloha :)
a) Die Integrabilitätsbedingung im \(\mathbb R^3\) ist genau dann erfüllt, wenn die Rotation des Vektorfeldes null wird. Daher betrachten wir:$$0\stackrel{!}{=}\operatorname{rot}\left(\begin{array}{c}\frac{ay}{(x-y)^2}\\\frac{2x}{(x-y)^2}+1\\z\end{array}\right)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\left(\begin{array}{c}\frac{ay}{(x-y)^2}\\\frac{2x}{(x-y)^2}+1\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-\frac{2(x+y)}{(x-y)^3}-\frac{a(x+y)}{(x-y)^3}\end{array}\right)$$Offensichtlich ist \(g(x,y,z)\) für \(a=-2\) konservativ.
b) In der Ebene \(y=x\) ist \(g(x,y,z)\) nicht definiert. Daher ist der Definitionsbereich von \(g\) zweifach zusammenhängend. Das Kraftfeld ist daher nur dann konservativ, so lange man sich nur auf der einen oder nur auf der anderen Seite der Ebene \(y=x\) befindet. Es gibt also 2 Definitionsbereiche, auf denen \(g\) konservativ ist:$$\mathbb D_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,|\,y<x\}\quad;\quad\mathbb D_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,|\,y>x\}$$
c) Wir nehmen nun den konservativen Fall \(a=-2\) an und bestimmen für die Funktion$$g(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{-2y}{(x-y)^2}\\\frac{2x}{(x-y)^2}+1\\z\end{array}\right)$$das Potential \(\phi\). Dazu integrieren wir \(g_1\) partiell nach \(x\):$$\phi=\int\frac{-2y}{(x-y)^2}dx=\frac{2y}{x-y}+c_1(y,z)$$und erhalten eine Integrations"konstante" \(c_1\), die von \(y\) und \(z\) abhängen kann. Wir leiten \(\phi\) partiell nach \(y\) ab und vergleichen mit \(g_2\):
$$\frac{2x}{(x-y)^2}+1\stackrel{!}{=}\frac{\partial\phi}{\partial y}=\frac{2x}{(x-y)^2}+\frac{\partial c_1(y,z)}{\partial y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial c_1(y,z)}{\partial y}=1$$Daher ist \(c_1(y,z)=y+c_2(z)\) und unser Potential nimmt langsam Form an:$$\phi=\frac{2y}{x-y}+y+c_2(z)$$
Wir leiten \(\phi\) partiell nach \(z\) ab und vergleichen mit \(g_3\):$$z\stackrel{!}{=}\frac{\partial\phi}{\partial z}=c_2'(z)\quad\Rightarrow\quad c_2(z)=\frac{z^2}{2}+\text{const}$$
Schließlich haben wir das Potential gefunden:$$\phi(x,y,z)=\frac{2y}{x-y}+y+\frac{z^2}{2}+\text{const}$$
