Analysis: Konstanz, Quotient. Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung

Question

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion mit $f^{\prime}(x)=f(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

Zeigen Sie, dass es dann ein $c \in \mathbb{R}$ gibt, sodass $f(x)=c \cdot e^{x}$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung um zu zeigen, dass der Quotient $f(x) / e^{x}$ konstant sein muss.

Kann mir einer sagen wie ich hier vorgehen muss?

Comments

Es wäre sinnvoll zu wissen, welcher Satz verwendet werden darf.

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Vom Duplikat:

Titel: Analysis differenzierbarkeit Aufgaben

Stichworte: differenzierbarkeit

Hallo.

Wie löst man diese Aufgaben?

2 von 2 Aufgabe 4 Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion mit $f^{\prime}(x)=f(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$. Zeigen Sie, dass es dann ein $c \in \mathbb{R}$ gibt, sodass $f(x)=c \cdot e^{x}$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt. Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung um zu zeigen, dass der Quotient $f(x) / e^{x}$ konstant sein muss.

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Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung ...

Und schon mal deine Vorlesungsmitschrift oder das Skript in die Hand genommen?

Answer 1

Definiere die Funktion $h$ durch $h(x)=f(x)\cdot\mathrm e^{-x}$. Offenbar ist $h$ differenzierbar und wegen $f^\prime(x)=f(x)$ gilt nach der Produktregel$$h^\prime(x)=f^\prime(x)\cdot\mathrm e^{-x}-f(x)\cdot\mathrm e^{-x}=0$$für alle $x\in\mathbb R$. Nach besagtem Satz ist $h$ konstant, d.h. es existiert ein $c\in\mathbb R$ mit $h(x)=c$. Daraus folgt$$f(x)=h(x)\cdot\mathrm e^x=c\cdot\mathrm e^x,$$und das ist die Behauptung.

Answer 2

f(x)=c·e^x (c∈ℝ) sind die einzigen Funktionen,

für die gilt f(x)=f '(x).

Comments

Soll nicht eben das gezeigt werden?