Linear abhängige Vektoren in einer Ebene

Question

3 Vektoren sind komplanar, wenn sie auf einer Ebene liegen. Seien drei Vektoren komplanar. und zwei von den 3 Vektoren seien kollinear. Sind die drei Vektoren linear abhängig?

Answer 1

Wenn drei Vektoren komplanar sind, also in einer Ebene liegen, dann sind sie zwangsläufig linear abhängig.

Comments

Wenn jedoch 2 davon kollinear sind, dann liegen die auf einer Linie und wie kann man dann erklären das die alle linear abhängig sind. Wenn z.b. der nicht auf der Linie liegt von den beiden kollinearen unabhängig ist. Ich kann mir das nicht vorstellen, kann man das skizzieren?

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Drei Vektoren wären nur linear unabhängig wenn sie einen Raum aufspannen. Dann dürfen aber weder 2 davon kolinear sein und auch nicht 3 davon komplanar.

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Ich versuche mir vorzustellen, wie man das zeichnerisch beweisen könnte. Zwei parallele Vektoren und ein dritter Vektor, der zu diesen parallelen Vektoren jeweils linear unabhängig ist. Die Vorstellung gelingt mir nicht und darum kann ich das auch nicht zeichnen.

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Wenn zwei linear abhängig sind dann langt ja auch ein Vektor. Und ein unabhängiger spannt dann mit dem ersten die Ebene auf.

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Ich probiere das mal

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Vielen Dank für deine Mühe. Jetzt sehe ich zwei linear abhängige Vektoren, die beiden auf der x1-Achse. Der Vektor ist auf der x2 Achse ist aber von den beiden auf der x1-Achse unabhängig. Der auf der x2 Achse lässt sich nicht von den anderen als Linearkombination darstellen und ich dachte eigentlich die ganze Zeit, dass sich jeder der 3 Vektoren durch die anderen beiden darstellen lassen muss. Das reicht also, wenn nur zwei lin. abh. sind? Oh man ich grübel die ganze Zeit wie doof ...

Answer 2

Du brauchst hier den Fall 2 und eventuell 3.

Geg: a,b und c sind komplanar

Beh: Man kann die folgende Gleichung nichttrivial lösen:

xa + yb + zc = 0

Fall 1: Es gibt dabei zwei nichtparallele Vektoren. So ordne sie so, dass a und b nicht parallel sind. a und b spannen dann die Ebene auf und man kann

xa + yb = c schreiben.

==> xa + yb -1*c = 0             |hier ist z=-1 ≠0 Daher eine nichttriviale Lösung.

Fall 2: Alle 3 sind parallel zueinander und nicht mehr als ein Nullvektor.

Daher nenne die Nichtnullvektoren a und b die Länge von c ist irrelevant.

Denn man kann schreiben b = x*a 

==> x*a - 1*b + 0c = 0 ist wegen -1 ≠ 0 eine nichttriviale Lösung.

Fall 3: 2 sind Nullvektoren. Z.B. a und b

==> 100*0 + 20*0 + 0*c = 0 ist wegen 100=x und 20=y eine nichttriviale Lsg.