Analytische Geometrie Beweise 2|x|2+ 2|y|2= |x + y|2 + |x − y|2

Question

Hallo. Wie löse ich diese Aufgabe?

2|x|²+ 2|y|²= |x + y|² + |x − y|²

Soll bewiesen werden..

Answer 1

|-a|²=(-a)²=a². Daher können alle Betragsstriche auch fortfallen.

2x²+2y²=x²+2xy+y²+x²-2xy+y² ist allgemeingültig

Answer 2

Wegen der Überschrift vermute ich mal,

dass x und y Vektoren ( im Rⁿ ? ) sein sollen.

Dann gilt doch |x| = √(x*x) und dabei ist * ein ( das ) Skalarprodukt,

also gilt

|x + y|² + |x − y|² = (x+y)*(x+y) + (x-y)*(x-y)

                                = x*x + 2x*y + y*y + x^*x -2x*y + y*y

                               = 2x*x + 2y*y

                              =  2|x|²+ 2|y|².

Comments

Wir sollten dies in R³ berechnen. Gilt deine Lösung dann immer noch?

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Kannst ja für x und y allgemein Vektoren mit 3 Koordinaten

einsetzen , etwa  (x1,x2,x3) oder so.