Begriffe: Definitionslücke, Sprungstelle, Unstetigkeitsstelle

Question

Des Öfteren sehe ich Graphen mit Sprungstellen unter dem Thema Definitionslücken. Bspw. hat die stückweise definierte Funktion f(x)=  -1, x<=0  und x^2, x>0    eine Sprungstelle bei x=0. Diese Funktion gilt als nicht stetig, besitzt bei x=2 eine Unstetigkeitsstelle. Diese Sprungstelle ist doch aber keine Definitionslücke, da sie ja für x=0 definiert ist. Eine Definitionslücke (z. B. x=1  bei der Funktion f(x)=1/(1-x) gilt aber nicht als Unstetigkeitsstelle, da x=1 nicht definiert ist, also nicht existiert und somit kann weder die Rede von Unstetigkeit noch Stetigkeit sein oder?

Kann man dann verallgemeinern:
Funktion mit Sprungstelle -> nicht stetige Funktion
Funktion mit Definitionslücke (Polstelle) -> stetige Funktion (obwohl es sich um keine zusammenhängende Linie handelt, sondern um eine Funktion mit zwei "Ästen")
Funktion mit Definitionslücke (hebare) -> stetige Funktion (schreibt man dann die Definitionslüücke trotzdem in den Definitionsbereich rein, obwohl sie stetig behebt werden kann?)

Liebe Grüße

Comments

Also ich kenne es so dass f(x) = 1/(1-x) eine nicht stetige Funktion ist. In den Intervallen x < 1 und x> 1 ist sie aber stetig.

 

f(x) = x(x+1)/x wäre eine nicht stetige Funktion. Sie besitzt aber eine hebbare Definitionslücke.

f1(x) = (x+1) wäre dann die stetige Ergänzung. Die Definitionslücke bleibt aber bestehen.

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Stetigkeit haben wir aber immer auf den Definitionsbereich bezogen, also in der Vorlesung hieß es auch, die Funktion f(x)=1/x ist stetig auf D=R\{0}. Dies hat mich dann verwirrt, weil ich auch öfters gelesen habe, dass eine Funktion als stetig gilt, wenn man sie ohne abzusetzen zeichnen kann.

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dass eine Funktion als stetig gilt, wenn man sie ohne abzusetzen zeichnen kann.

Das ist ja auch richtig - nur nicht umfassend. Es gibt durchaus Funktionen, die man nicht ohne abzusetzen zeichnen kann, die aber dennoch stetig sind, z.B. eben die Funktionen mit Definitionslücke.

Stetigkeit haben wir aber immer auf den Definitionsbereich bezogen,

und so ist es auch richtig. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

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@fragesteller,

  ich versuche einmal eine supergenaue Definition von Stetigkeit

  - jede Funktion hat einen Def-Bereich
  - der Definitionsbereichs hat einen Anfang x = A
    und ein Ende x = Z
  -  ist der Def-bereich nicht zusammenhängend ( hat Lücken oder ist
     bereichsweise definiert ) ist die Funktion schon nicht mehr stetig. Die
     Funktion kann nicht ohne abzusetzen gezeichnet werden.
  - Bei einer Funktion mit mehreren Def-Bereichen können die Abschnitte
     auf Stetigkeit innerhalb der Abschnitte untersucht werden

 Mit dieser Definition kannst du die Stetigkeit all´ deiner Beispiele beantworten:

  mfg Georg
 

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Ok, vielen lieben Dank. Ich schließe mich jetzt einfach JotEs' Erklärung an, da dann auch die Beispiele der Vorlesung Sinn ergeben. Da ich in meiner Aufgabe einige nicht stetige Funktionen angeben soll, benutz ich nun einfach nur stückweise definierte Funktionen mit Sprungstellen (, zuerst hatte ich Funktionen mit Polstellen).

Answer 1

Solange du nicht sagst (oder implizierst), dass eine Funktion mit Polstelle in der Polstelle stetig ist, scheint mir deine 'Zusammenfassung' mit der üblichen Auffassung im Einklang zu stehen.

Die wichtigsten (äquivalenten) Definitionen von Stetigkeit findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Definitionen

Beachte dort die Ausführungen zu links- und rechtsstetig und dann vielleicht noch den weiterführenden Link zu (be)hebbaren Unstetigkeitsstellen.