Basisbestimmung bzgl. Abbildungsmatrix

Question

Hat jemand eine Ahnung, wie man am besten bei dieser Aufgabe vorgehen könnte?

Sei
$$\begin{array}{l} f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \\ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ w \end{array}\right) \\ \rightarrow\left(\begin{array}{c} y+z+2 w \\ z+w \\ y+z+2 w \\ y+w \end{array}\right) \end{array}$$

Geben Sie Basen an, sodass $f$ bezüglich dieser Basen der Multiplikation mit
$$B=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$
entspricht.

Aqua_Supera

Answer 1

Bezüglicher der Standardbasis S gilt:

$$M_S(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Bestimme davon den Kern, also erst einmal auf strenge Zeilenstufenform bringen:

$$M_S(f) \sim \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

Mit dem-1 Trick erhältst du die Basisvektoren $k_1 = (-1,0,0,0)^T$ und $k_2 =( 0,1,1,-1)^T$. Die ergänzen wir jetzt zu einer Basis des $\mathbb{R}^4$: $\mathcal{B} = (v_1, v_2, k_1, k_2)$. Die Vektoren $v_1 = (0,1,0,0)^T, v_2 = (0,0,1,0)^T$ gehen zum Beispiel.

Jetzt brauchen wir noch die dazu passende zweite Basis, nennen wir sie mal $\mathcal{C} = (w_1,w_2,w_3,w_4)$. Es soll gelten:

$$M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ d.h. $$f(v_1) = 1w_1 + 0w_2 + 0w_3 + 0w_4= (1,0,1,1)^T\\ f(v_2) = 0w_1 + 1w_2 + 0w_3 + 0w_4= (1,1,1,0)^T$$

An $w_3$ und $w_4$ werden keine weiteren Bedingungen erstellt, also reicht es diese einfach so zu wählen, dass eine Basis entsteht, $w_3 = (0,0,1,0)^T$ und $w_4 = (0,0,0,1)^T$ funktionieren.

Comments

Dankeschön für die ausführliche Antwort!

Eine kurze Frage noch: Das heißt jetzt, dass die gesuchte Basis aus w₁ bis w₄ besteht? War nur kurz verwirrt, weil weiter oben die Basis aus v₁ , v₂ , k₁ und k₂ besteht; aber das ist ja nur der Zwischenschritt, richtig?

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Du brauchst zwei unterschiedliche Basen. Die eine ist (v1, v2, k1, k2) und die andere (w1, ..., w4)

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Alles klar danke!

Answer 2

Hallo

 der erste Basisvektor muss 0 der ersten Spalte sein, der zweite gleich der zweiten Spalte

Gruß lul

Comments

Dankeschön für die schnelle Antwort. Könntest Du nochmal kurz ausführen, was Du genau meinst? Tue mir etwas schwer, deine Nachricht zu interpretieren.

Gruß Aqua_Supera