Binomialverteilung: Bsp. Wahrscheinlichkeit von höchstens zwei richtigen Antworten?

Question

Aufgabe:

Bei einem Mathetest gibt es zehn fragen mit jeweils vier Antworten, von denen nur eine richtig ist. Felix kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er...


a) genau drei richtige Antworten?

b) mindestens drei richtige A.?

c) höchstens zwei richtige Antworten?

d) mehr als drei richtige Antworten

Würde mich über eine Antwort freuen!

Answer 1

Aloha :)

Es gibt 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau 1 richtig ist.

$$p(\text{=3 richtige Antworten})=\binom{10}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^3\left(1-\frac{3}{4}\right)^{10-3}=25,0282\%$$$$p(\text{\(\ge\)3 richtige Antworten})=1-p(\text{\(\le\)2 richtige Antworten})$$$$\quad=1-\sum\limits_{k=0}^2\binom{10}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(1-\frac{3}{4}\right)^{10-k}=100\%-52,5593\%=47,4407\%$$$$p(\text{\(\le\)2 richtige Antworten})=\sum\limits_{k=0}^2\binom{10}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(1-\frac{3}{4}\right)^{10-k}=52,5593\%$$$$p(\text{>3 richtige Antworten})$$$$\quad=p(\text{\(\ge\)3 richtige Antworten})-p(\text{=3 richtige Antworten})$$$$\quad=47,4407\%-25,0282\%=22,4125\%$$