Grenzwertbeweis lim x->unendlich ln(x)/x^a=0

Question

stehe vor einem Problem. Ich soll diese Aufgabe lösen:

Sei a∈ℝ, a>0. Zeigen Sie mit der Gleichung
$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt [ k ]{ x }  }{ \ln(x) }  } =\quad +\infty$$

dass gilt:

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(x) }{ { x }^{ a } }  } =\quad 0$$

Zeigen Sie damit dann, dass gilt:

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \quad { |x| }^{ a }\quad \ln|x|\quad =\quad 0 }$$
Habe leider noch keinen brauchbaren Ansatz gefunden.

Grüße :)

Comments

Leider ist da etwas bei der Formatierung schief gegangen und ich kann den Post nicht mehr bearbeiten. Ich meinte:

Zeigen Sie mit der Gleichung

lim x ->∞ (k-te Wurzel x)/ln(x) = +∞

Dass gilt:

lim x->∞ ln(x)/x^a = 0

Zeigen Sie damit dann, dass

lim x->0 |x|^a•ln|x| = 0

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Habs mal ausgebessert. Jeder Zeile eigene Dollarzeichen vergeben, dann passt es :).

Answer 1

Den ersten Teil stelle ich mir eventuell wie folgt vor:

lim (x→∞) ln(x) / x^a

= lim (x→∞) 1 / (x^a / ln(x))

Substituieren a = 1/k

= lim (x→∞) 1 / (x^{1/k} / ln(x)) = 0

Comments

2. Teil

lim (x→0) x^a·LN(x)

= lim (z→∞) (1/z)^a·LN(1/z)

= lim (z→∞) LN(z^{-1}) / z^a

= lim (z→∞) - LN(z) / z^a = - 0

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Wow, das macht auf jeden Fall Sinn!

(Vielen  )^3

Grüße :)