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Aufgabe:

Siehe im Bild


Problem/Ansatz:

Grundsätzlich verstehe ich wie ich die Aufgabe berechnen muss, jedoch bin ich jetzt verwirrt.


Ich ging immer davon aus das z.b wie bei der a das c4 gesucht ist und somit k=4 ist.

Mit der Denkweise bin ich davon ausgegangen das bei der b k=7 ist weil c7 gesucht ist.


In der Lösung Stande das bei der a k=4 richtig ist, jedoch war bei der b k nicht 7 sonder k=3.

wie kommt man auf k=3? Wieso ist bei der a k=4 und bei der b k=3 und nicht k=7? Kann man das irgendwie berechnen ich bin total verwirrt.


Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie den Koeffizienten c4 c_{4} vor x4 x^{4} im Term (12x+1)12 \left(\frac{1}{2} x+1\right)^{12}

(b) Bestimmen Sie den Koeffizienten c7 c_{7} vor x7 x^{7} im Term (42x)10 (4-2 x)^{10}

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Bei b) enthält dder zweite Operand des Binoms das x.

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Ich nehme an, du hast diese Formel benutzt: (a+b)n=k=0n(nk)ankbk\left(a+b\right)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}Dann ist k=7k=7 sicher richtig. Manchmal benutzt man noch die Gleichung (nk)=(nnk).\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\n-k \end{pmatrix}. Das hätte man hier auch lassen können.

In der Lösung ist jedoch k=3

Was steht denn genau in der Lösung?

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(1/2x+1)12=(x+2)12/212=1/212·(X12  + 24·x11  + 264·x10  + 1760·x9  + 7920·x8  + 25344·x7  + 59136·x6  + 101376·x5  + 126720·x4  + 112640·x3  + 67584·x2  + 24576·x + 4096).  

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Aloha :)(12x+1)12=(12x+1)(12x+1)(12x+1)12 Faktoren\left(\frac{1}{2}x+1\right)^{12}=\overbrace{\left(\frac{1}{2}x+1\right)\cdot\left(\frac{1}{2}x+1\right)\cdots\left(\frac{1}{2}x+1\right)}^{\text{12 Faktoren}} Um den x4x^4-Term zu erhalten, müssen wir beim Ausmultiplizieren aus genau 4 von den 12 Faktoren 12x\frac{1}{2}x auswählen. Die anderen 8 Faktoren sind dann 11en. Daher lautet der x4x^4-Term:c4x4=(124)(12x)418=49524x4c4=49516=30,9375c_4x^4=\binom{12}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)^4\cdot1^8=\frac{495}{2^4}\,x^4\quad\Rightarrow\quad c_4=\frac{495}{16}=30,9375

(42x)10=(42x)(42x)(42x)10 Faktoren\left(4-2x\right)^{10}=\overbrace{\left(4-2x\right)\cdot\left(4-2x\right)\cdots\left(4-2x\right)}^{\text{10 Faktoren}} Um den x7x^7-Term zu erhalten, müssen wir beim Ausmultiplizieren aus genau 7 von den 10 Faktoren (2x)(-2x) auswählen. Die anderen 3 Faktoren sind dann 44en. Daher lautet der x7x^7-Term:c7x7=(107)(2x)743=120(2)743x7c7=49516=983040c_7x^7=\binom{10}{7}\cdot\left(-2x\right)^7\cdot4^3=120\cdot(-2)^7\cdot4^3\,x^7\quad\Rightarrow\quad c_7=\frac{495}{16}=-983\,040

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