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Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|4) an.


Problem/Ansatz:

Stelle die Funktion auf

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Benutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|4) an.

Eigenschaften

f'(0)=0
f'''(0)=0
f(1)=1.5
f''(1)=0
f(0)=4

Gleichungssystem

d = 0
b = 0
a + b + c + d + e = 1,5
12a + 6b + 2c = 0
e = 4

Funktion

f(x) = 0,5·x4 - 3·x2 + 4

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Die Wendepunkte könnten eigentlich auch unterhalt der x-Achse liegen. Das wäre dann eine zweite Möglichkeit.

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 32 \frac{3}{2} Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(04)P(0|4) an

Ich verschiebe den Graphen um 4 Einheiten nach unten:

Wendepunkte:W1(11,5)W_1(1|1,5)  W2(11,5)W_2(-1|1,5)W´1(12,5)W´_1(1|-2,5)  W´2(12,5)W´_2(-1|-2,5)

relatives MaximumP(04)P(0|4)P´(00)P´(0|0)

f(x)=ax2(xN)(x+N)=ax2(x2N2)=a(x4N2x2)f(x)=ax^2(x-N)(x+N)=ax^2(x^2-N^2)=a(x^4-N^2x^2)

W´1(12,5)W´_1(1|-2,5):

f(1)=a(1N2)f(1)=a(1-N^2)  →   a(1N2)=2,5a(1-N^2)=-2,5 → a(N21)=2,5a(N^2-1)=2,5  →  a=2,5N21a=\frac{2,5}{N^2-1} mit N±1N≠±1

f(x)=2,5N21(x4N2x2)f(x)=\frac{2,5}{N^2-1}(x^4-N^2x^2)

f(x)=2,5N21(4x32N2x)f'(x)=\frac{2,5}{N^2-1}(4x^3-2N^2x)

f(x)=2,5N21(12x22N2)f''(x)=\frac{2,5}{N^2-1}(12x^2-2N^2)

f(1)=2,5N21(122N2)f''(1)=\frac{2,5}{N^2-1}(12-2N^2)

2,5N21(122N2)=0\frac{2,5}{N^2-1}(12-2N^2)=0

N2=6N^2=6    a=0,5a=0,5

f(x)=0,5(x46x2)f(x)=0,5(x^4-6x^2)

Ich verschiebe den Graphen um 4 Einheiten nach oben:

p(x)=0,5(x46x2)+4p(x)=0,5(x^4-6x^2)+4

Unbenannt.JPG

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