Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine Matrix B ∈ Kn×m mit AB = Em, wenn fA surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper und A ∈ K . Die Abbildung
fA : Kn →Km, v→Av
ist linear. Zeigen Sie:

Problem/Ansatz:

Es gibt genau dann eine Matrix B ∈ Kn×m mit AB = Em, wenn fA surjektiv ist.

:)

Answer 1

Wenn f_A surjektiv ist,  gibt es zu jedem der kanonischen Einheitsvektoren e_i

von K^m  (also i ∈{1,...,m } ) einen Vektor v_i ∈ Kⁿ mit   fA(v_i) = e_i .

Also für alle i ∈{1,...,m } gilt dann A*v_i = e_i .

Die Matrix B sei die Matrix, deren Spalten die v_i sind,

dann gilt also  A*B = E_m .

Ist umgekehrt B eine Matrix mit  A*B = E_m .  #

Dann ist f_A surjektiv, denn sei v∈K^m , dann ist

E_m * v = v

also wegen #    (A*B)*v = v

==>    A * ( B*v) = v

==>     f_A ( B*v) = v

also ist B*v ein Vektor, dessen Bild v ist. Somit gibt es

zu jedem v∈K^m ein w∈Kⁿ  (nämlich w = B*v)

mit     f_A ( w) = v. Also ist f_A surjektiv.