Wie lautet der Grenzwert?

Question 1

Aufgabe:

Sei $ f(x)=\sum \limits_{k=0}^{t} a_{k} x^{k} $ ein Polynom vom Grad $ t $ mit rellen Koeffizenten $ a_{i} $ für $ i \in\{0, \ldots, t\} $ Weiter sei $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine Folge reeller Zahlen mit $ b_{n}=\frac{f(n)}{n^{t}} $. Ist die Folge $ \left(b_{n}\right) $ konvergent und wie lautet gegebenenfalls der Grenzwert?

Problem/Ansatz:

wie man dieses Problem löst?

Question 2

Hallo,

setze doch für $b_n$ den Funktionswert ein$$\begin{aligned} b_n &= \frac{f(n)}{n^t} \\&= \frac{\sum_{k=0}^t a_k n^k }{n^t} \\&= \sum_{k=0}^t a_k n^{k-t} \\&= \frac{a_0}{ n^{t}} + \frac{a_1}{ n^{t-1}} + \dots + \frac{a_{t-1}}{ n^{1}} + a_t \\ \implies \lim_{n \to \infty} b_n &= a_t\end{aligned}$$Da jeder Koeffizient, außer $a_t$, mit einem Wert multipliziert wird, beim dem $n$ bzw. eine Potenz von $n$ im Nenner steht, laufen alle diese Summanden mit wachsendem $n$ gegen 0.

Folglich: Die Folge $b_n$ konvergiert und der Grenzwert ist $a_t$.

Werner-Salomon · Answer 1 · 2020-06-22T12:18:52+0000

Hallo,

setze doch für $b_n$ den Funktionswert ein$$\begin{aligned} b_n &= \frac{f(n)}{n^t} \\&= \frac{\sum_{k=0}^t a_k n^k }{n^t} \\&= \sum_{k=0}^t a_k n^{k-t} \\&= \frac{a_0}{ n^{t}} + \frac{a_1}{ n^{t-1}} + \dots + \frac{a_{t-1}}{ n^{1}} + a_t \\ \implies \lim_{n \to \infty} b_n &= a_t\end{aligned}$$Da jeder Koeffizient, außer $a_t$, mit einem Wert multipliziert wird, beim dem $n$ bzw. eine Potenz von $n$ im Nenner steht, laufen alle diese Summanden mit wachsendem $n$ gegen 0.

Folglich: Die Folge $b_n$ konvergiert und der Grenzwert ist $a_t$.

Wie lautet der Grenzwert?

1 Antwort

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: