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Aufgabe:

z1 = 2 ∠(3π/4)

z2 = 3 ∠(7π/6)

Berechnen z1z2 \frac{z1}{z2}


Problem/Ansatz:

Polarform: 23 \frac{2}{3}  ∠(-5π/12)

Kartesische Form : 626 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6} 6+26 \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} *i


Finde leider keinen Rechner mit dem ich mein Ergebnis Prüfen kann, also wollte ich nur Fragen ob das richtig ist.


Rechenweg:

23 \frac{2}{3} ∠(-75) , nach der Regel z1z2 \frac{z1}{z2} a1a2 \frac{a1}{a2}  ∠ (α1 - α2)

23 \frac{2}{3} * ( cos(-75) + i * sin(-75))

= 626 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6} - 6+26 \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} *i



Wäre die Multiplikation nach der Regel auch richtig?

z1*z2 = a1*a2 ∠(α1 + α2)

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Aloha :)

z1=2ei3π/4;z2=3ei7π/6z_1=2e^{i\,3\pi/4}\quad;\quad z_2=3e^{i\,7\pi/6}

z1z2=2ei3π/43ei7π/6=23ei3π/4ei7π/6=23ei3π/4ei7π/6=23eiπ(3476)\frac{z_1}{z_2}=\frac{2e^{i\,3\pi/4}}{3e^{i\,7\pi/6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{e^{i\,3\pi/4}}{e^{i\,7\pi/6}}=\frac{2}{3}\cdot e^{i\,3\pi/4}\cdot e^{-i\,7\pi/6}=\frac{2}{3}\cdot e^{i\pi\left(\frac{3}{4}-\frac{7}{6}\right)}z1z2=23eiπ(9121412)=23ei512π=23(cos(512π)isin(512π))\phantom{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{2}{3}\cdot e^{i\pi\left(\frac{9}{12}-\frac{14}{12}\right)}=\frac{2}{3}\cdot e^{-i\,\frac{5}{12}\,\pi}=\frac{2}{3}\left(\cos\left(\frac{5}{12}\pi\right)-i\sin\left(\frac{5}{12}\pi\right)\right)z1z2=23(3122i3+122)=132((31)i(3+1))\phantom{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}-i\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}\right)=\frac{1}{3\sqrt2}\left((\sqrt3-1)-i(\sqrt3+1)\right)z1z2=26((31)i(3+1))=626i6+26\phantom{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\sqrt2}{6}\left((\sqrt3-1)-i(\sqrt3+1)\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{6}-i\,\frac{\sqrt6+\sqrt2}{6}Das stimmt mit deinem Ergebnis überein ;)

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2·EXP(3/4·pi·i)/(3·EXP(7/6·pi·i)) = 2/3·EXP((3/4 - 7/6)·pi·i) = 2/3·EXP((- 5/12)·pi·i) = √6/6 - √2/6 - i·(√6/6 + √2/6)

Damit ist deine Rechnung richtig.

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