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Aufgabe:

a_n= \( \sqrt{4n^2-3n+5} \)-2n

Ich soll diese Folge auf konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen. Andernfalls soll ich die Häufungspunkte angeben.


Problem/Ansatz:

Ich habe folgendes gerechnet:

a_n= \( \sqrt{4n^2-3n+5} \)-2n

= \( \sqrt{n^2×(4-3/n+5/n^2)} \) -2n

= \( \sqrt{n^2} \)×\( \sqrt{4-3/n+5/n^2} \)-2n

Wenn ich den limes für n nach unendlich laufen lassen würde käme ich auf

∞×2-2×∞

Ich bin mir allerdings unsicher, ob dass so richtig ist und ich die Regeln richtig angewendet habe. Bekomme ich einen uneigentlichen Grenzwert heraus?

von

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Beste Antwort

Hey Mathegast2020,

schöne Grenzwertaufgabe von Zahlenfolgen! Gesucht ist der Grenzwert von \(a_n=\sqrt{4n^2-3n+5}-2n\). Würdest du einfach nur für \(n\) jetzt \(\infty\) "einsetzen", hättest du den Fall \(\infty-\infty\). Diesen Fall mit einer Quadratwurzel kannst du immer lösen über die umgestellte 3. binomische Formel:

$$x-y=\dfrac{x^2-y^2}{x+y},$$

wobei hier \(x=\sqrt{4n^2-3n+5}\) und \(y=2n\) ist. Das heißt du hast:

$$a_n=\sqrt{4n^2-3n+5}-2n = \dfrac{4n^2-3n+5-4n^2}{\sqrt{4n^2-3n+5}+2n} = \dfrac{-3n+5}{\sqrt{4n^2-3n+5}+2n}=\dots$$

Wenn du jetzt noch ein n im Zähler und Nenner ausklammerst, dann bist du am Ziel:

$$\dots=\dfrac{n\cdot\left(-3+\frac{5}{n}\right)}{n\cdot\left(\sqrt{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}+2\right)}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\dfrac{-3}{\sqrt{4}+2}=-\dfrac{3}{4}$$


Viel Spaß
MathePeter

von

Vielen lieben Dank! Du hast mir sehr geholfen!

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