Hey lea0512,
Mit einem Dreifachintegral funktioniert das ziemlich gut. Die obere Hälfte der Einheitsskugel lässt sich in Zeichen ausdrücken durch H={(x,y,z)∈R3 : x2+y2+z2≤1, z≥0}.
Am besten nutzt du Kugelkoordinaten:
⎝⎛xyz⎠⎞=⎝⎛r⋅cos(φ)cos(θ)r⋅sin(φ)cos(θ)r⋅sin(θ)⎠⎞, r∈[0,1], φ∈[0,2π), θ∈[0,2π]
Wichtig: Beachte bei der Transformation von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten noch die Determinante der Jacobimatrix: dxdydz=r2cos(θ)drdφdθ.
H∭1dH=θ=0∫2πφ=0∫2πr=0∫1r2⋅cos(θ)drdφdθ=2π⋅31[r3]01⋅[sin(θ)]02π=32π
Viel Spaß
MathePeter