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ich habe folgende Aufgabe:
"Sei f eine stetig differenzierbare Funktion von R^3 auf R^2 definiert durch f(x,y,z) = (x^2+y^2 , y^2+z^2). Sei ferner M:= f^(-1)({(1,4)^T}) Teilmenge R^3 und p = (1, 0, 2) aus M.
Bestimmen Sie die Menge der regulaeren Punkte und die der Regulaeren Werte von f. Folgern Sie, dass M eine eindimensionale Untermannigfaltikeit des R^3 ist."

Als regulaere Punkte habe ich R^3\{(x,0,0),(0,z,0),(0,0,z),(0,0,0)}
und fuer die regulaeren Werte habe ich (x^2 ,0), (y^2 ,y^2), (0,z^2)

Mit den regulaeren Werten bin ich mir nicht sicher (glaube ich habe etwas falsch verstanden) und ich weiss auch nicht wie ich darauf folgen kann, dass es eine eindimensionale Untermannigfaltikeit ist.

MfG

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Hallo,

sei \(f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 , (x,y,z)\mapsto \begin{pmatrix} x^2+y^2\\y^2+z^2 \end{pmatrix}\). Dann gilt für die Jacobi-Matrix \(J_f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x& 2y & 0 \\ 0& 2y & 2z \end{pmatrix}\). Weiter ist \(M=f^{-1}(1,4)=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=1 \, \land \, y^2+z^2=4\}\). Einen regulären Punkt \(u\) hast du nun genau dann, wenn \(\operatorname{Rang} J_f(u)=2\) gilt:$$\begin{pmatrix} 2x& 2y & 0 \\ 0& 2y & 2z \end{pmatrix}\leadsto \begin{pmatrix} x& y & 0 \\ 0& y & z \end{pmatrix}$$ Diese Matrix hätte nicht Rang 2, wenn \(x=z=0\) und \(y\) beliebig. Setzt man das in \(M\) ein, so hast du \(y^2=1 \, \land \, y^2=4\), das ist ein Widerspruch, damit liegt \((0,t,0)\) mit \(t\in \mathbb{R}\) nicht in \(M\). Außerdem könnte die Matrix nicht Rang 2 haben, wenn \(x=y=z=0\), dann ist aber \(0=1\, \land \, 0=4\) und damit wieder ein Widerspruch. Damit hat die Matrix für alle \((x,y,z)\in M\) vollen Rang und damit auch nur reguläre Punkte und insbesondere reguläre Werte.

Nach dem Satz vom regulären Wert folgt, dass \(M\) eine \((3-2=1)\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^3\) ist.

von 27 k

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