Hallo,
sei \(f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 , (x,y,z)\mapsto \begin{pmatrix} x^2+y^2\\y^2+z^2 \end{pmatrix}\). Dann gilt für die Jacobi-Matrix \(J_f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x& 2y & 0 \\ 0& 2y & 2z \end{pmatrix}\). Weiter ist \(M=f^{-1}(1,4)=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=1 \, \land \, y^2+z^2=4\}\). Einen regulären Punkt \(u\) hast du nun genau dann, wenn \(\operatorname{Rang} J_f(u)=2\) gilt:$$\begin{pmatrix} 2x& 2y & 0 \\ 0& 2y & 2z \end{pmatrix}\leadsto \begin{pmatrix} x& y & 0 \\ 0& y & z \end{pmatrix}$$ Diese Matrix hätte nicht Rang 2, wenn \(x=z=0\) und \(y\) beliebig. Setzt man das in \(M\) ein, so hast du \(y^2=1 \, \land \, y^2=4\), das ist ein Widerspruch, damit liegt \((0,t,0)\) mit \(t\in \mathbb{R}\) nicht in \(M\). Außerdem könnte die Matrix nicht Rang 2 haben, wenn \(x=y=z=0\), dann ist aber \(0=1\, \land \, 0=4\) und damit wieder ein Widerspruch. Damit hat die Matrix für alle \((x,y,z)\in M\) vollen Rang und damit auch nur reguläre Punkte und insbesondere reguläre Werte.
Nach dem Satz vom regulären Wert folgt, dass \(M\) eine \((3-2=1)\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^3\) ist.
