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Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

$$\text{ Gegeben seien die folgenden Basen des Vektorraums } \\V =\{p \in \mathbb{R}[t] \mid \operatorname{deg}(p) \leq 3\} \text{ aller Polynome über den reellen Zahlen vom Grad kleiner gleich 3: }\\ \begin{array}{l} \mathcal{A}=\left(t^{3}, t^{2}, t, 1\right) \\ \mathcal{B}=\left(t^{3}+t, t^{3}+1, t^{2}+t, t+1\right) \end{array} \\ \text{ a) Stellen Sie das Polynom }\\ p(t)=3 t^{3}+3 t^{2}+8t+6 \text{ in Koordinatendarstellung bezüglich Basis } \mathcal{A} \text{ und } \mathcal{B} \text{ dar. }\\ \text{ b) Es sei } f: V \rightarrow V \text{ die lineare Abbildung, die jedes Polynom aus } V \text{ auf seine Ableitung abbildet. } \\ \text{ Bestimmen Sie } M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}(f) \text{ und } M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(f)$$


zu a) habe ich bisher folgenden Ansatz: blob.png

 $$\text{ Stimmt das so? Oder könnte man } \lambda_{1} \text{ bis } \lambda_{4} \text{ auch einfach "ablesen"? Dann wären }\\ \lambda_{1} = 1, \lambda_{2}=2 , \lambda_{3}=3 \text{ und } \lambda_{4}=4 \text{ Würde dies auch stimmen?}$$


Zu Aufgabe b hab ich leider noch keine Idee... Vielleicht hat jemand anderes eine Idee (oder Erklärung) für mich.

Würde mich freuen, wenn mir einer helfen könnte. :) 

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Man könnte eine Basiswechselmatrix XBA aufstellen. Damit könntest du einfach von der Basis B auf die Basis A umrechnen:

blob.png

Mit der Inversen XBA^-1 = XAB kannst du dann von der Basis A in die Basis B umrechnen

blob.png

Wie sieht jetzt eine Matrix aus, die Bezüglich der Basis A jedes Polynom auf seine Ableitung abbildet

blob.png







von 446 k 🚀
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bei a1) bekommst  du durch "einfach ablesen" doch auch das Ergebnis, das du hast.

Bei a2) musst du dann noch was weiter rechnen für die anderen Lambda-Werte.

Bei b) bestimmst du von jedem Element der Basis A das Bild und stellst es mit der Basis A

dar. Etwa für das erste :   f(t^3) = 3t^2 =  0*t^3 + 3*t^2 + 0*t + 0.

Die Koeffizienten bilden die erste Spalte der Matrix, die ist also

0
3
0
0.

Das Gleiche mit dem 2. Basiselement etc. Gibt dann

0    0     0     0
3    0     0     0
0    2     0     0
0    0     1     0

Für den 2. Teil stellst du die Bilder mittels Basis B dar.

von 270 k 🚀

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