Eigenwerte und Eigenraum

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M (n,C) und λ ein Eigenwert mit zugehörigem Eigenraum Eλ ⊆ Cn. Zeigen Sie:

a) ¯λ ist Eigenwert von  ̄A. Geben Sie auch hier den zugehörigen Eigenraum an.

b)  Sei A nilpotent, d.h. es gibt ein m∈N, so dass Am= 0. Zeigen Sie, dass daraus folgt λ= 0

Answer 1

Sei A ∈ M (n,ℂ) und λ ein Eigenwert von A. ==>

Es gibt v ∈ℂⁿ mit  A * v = λ*v.      ==>

$$\overline{A*v}=\overline {λ*v} ==>\overline{A}*\overline {v}=\overline{λ}*\overline {v}$$

$$\text{Also ist } \overline{λ} \text{ ein Eigenwert zum Eigenvektor }\overline {v}$$

$$\text{Der Eigenraum zu } \overline{λ} \text{ besteht also aus allenn }\overline {v}\text{ mit v aus Eλ}$$

b) Sei A nilpotent mit A^m = 0 und λ ein Eigenwert.

==>   Es gibt v ≠ 0 mit  A*v = λ * v

==>   A² * v = A * ( A*v ) = A * (λ * v ) = λ*(A*v) = λ*(λ*v) = λ² * v

in der Art erhält man auch  A^m *v =  λ^m * v  und laut Vor ist das 0,

also ist  λ^m * v = 0 aber v als Eigenvektor nicht 0, also  λ^m = 0 ,

also  λ=0.