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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f : R → R mit der Eigenschaft f(x+y) = f(x)+f(y)  für Alle x, y ∈ R.

Zu Zeigen ist


1.  f(rx) = rf(x) für alle r ∈ Q und alle x ∈ R.


2. Ist f in 0 stetig, so gilt f(x) = ax mit einer geeigneten Konstanten a ∈ R


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich die Eigenschaft der Funktion für die Beweise nutzen kann.

Muss ich diese überhaupt Nutzen?

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo gemischter Salat,

sicher musst du die Eigenschaft benutzen!

i) Zeige \(f(0) = 0\): Da $$ f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) = 2f(0) \implies f(0) = 0 $$ ii) Zeige\( f(m\cdot x) = m\cdot f(x) \) für alle \(m\in\mathbb{N}_0 \) (vollständige Induktion, DIY)

iii) Zeige \( f(-x) = -f(x)\): Es ist $$ 0 = f(x-x) = f(x) + f(-x) \implies f(-x) = -f(x) $$iv) Folgere aus ii) und iii), dass \( f(n\cdot x) = n \cdot f(x)\) für alle ganzen Zahlen n gilt.

v) Sei nun \( q \) eine rationale Zahl, etwa \( q = \frac{n}{m} \) mit \( n∈ℤ, m∈ℕ\), \( n, m \) teilerfremd.

Dann ist \( f(m \cdot (q\cdot x)) = m \cdot f(q\cdot x) \), aber auch \( f(m \cdot (q\cdot x)) = f(n\cdot x) = n \cdot f(x)\). D.h. es folgt $$ m \cdot f(q\cdot x) = n \cdot f(x) \implies f(q\cdot x) = q \cdot f(x) $$ Das Prinzip kann man bei mehreren Aufgaben anwenden. Erst die natürlichen Zahlen betrachten, dann auf ganze Zahlen verallgemeinern und schlussendlich dann die Behauptung für rationale Zahlen zeigen.

2. Hier würde ich so vorgehen:

i) Zeige, dass \(f\) auf komplett \(ℝ\) stetig ist: Sei \(y∈ℝ\), dann gilt:

$$ \lim_{x\to y} f(x) = \lim_{x\to 0} f(x + y) = \lim_{x\to 0} f(x) + f(y) = f(0) + f(y) = f(y) $$

ii) Sei nun \(a  := f(1) ∈ℝ \) und \( x∈ℝ \). Da \(ℚ\) dicht in \(ℝ\) existiert eine Folge rationaler Zahlen \( (q_n)_{n\in\mathbb{N}} \) mit \( q_n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} x \). Da \(f\) überall stetig ist gilt:

$$ f(x) = \lim_{n\to \infty} f(q_n) = \lim_{n\to \infty} f(q_n\cdot 1) = \dotsm $$ 

von
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Muss ich diese überhaupt Nutzen?

Wenn du nichts über eine Funktion weißt, dann kannst du daraus auch nichts ableiten. Also musst du die Eigenschaften benutzen die du kennst.

Ich mache nur mal in Beispiel mit einer konkreten Zahl damit du es verstehst

f(3·x) = f(x + x + x) = f(x) + f(x) + f(x) = 3·f(x)

Nun sollst du das aber nicht nur für 3 Zeigen sondern für alle rationalen und reellen Zahlen.

von 340 k 🚀

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