(a) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf {1,x,x2,x3} bezüglich beider Skalarprodukte an.
(b) Bestimmen Sie bezüglich beider Skalarprodukte die orthogonale Projektion π(f) von f=x2(x2−1)∈R[x] auf U=⟨1,x,x2,x3⟩ und fertigen Sie Zeichnungen von f und f−π(f) an (z. B. mit Maple).
Betrachten Sie auf R[X] die folgenden beiden Skalarprodukte
⟨p,q⟩1=∫−11p(x)q(x)x2dx ⟨p,q⟩2=∫−11p(x)q(x)(1−x2)dx
Aufgabe:
Aufgabe 4 (Orthonormalisierungsverfahren). Betrachten Sie auf \( \mathbb{R}[X] \) die folgenden beiden Skalarprodukte
$$ \begin{array}{l} \langle p, q\rangle_{1}=\int \limits_{-1}^{1} p(x) q(x) x^{2} d x \\ \langle p, q\rangle_{2}=\int \limits_{-1}^{1} p(x) q(x)\left(1-x^{2}\right) d x \end{array} $$
(a) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf \( \left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} \) bezüglich beider Skalarprodukte an.
(b) Bestimmen Sie bezüglich beider Skalarprodukte die orthogonale Projektion \( \pi(f) \) von \( f=x^{2}\left(x^{2}-1\right) \in \mathbb{R}[x] \) auf \( U=\left\langle 1, x, x^{2}, x^{3}\right\rangle \) und fertigen Sie Zeichnungen von \( f \) und \( f-\pi(f) \) an (z. B. mit Maple).
