Was ist die Dimension des Lösungsraumes der Differentialgleichung x′′′−2x′′+x′=0?

Question

Aufgabe:

1) Was ist die Dimension des Lösungsraumes der Differentialgleichung x′′′−2x′′+x′=0 ???

2) Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe x′′′−2x+x′=0, x(0)=2, x′(0)=0  , x′′(0)=−1 .

Problem/Ansatz:

Ich brauche jeder Schritt um mein Fehler zu finden

Ich freue mich auf Eure Hilfe !
MFG

Answer 1

Hallo,

Aufgabe 2)

x′′′−2x+x′=0, x(0)=2, x′(0)=0  , x′′(0)=−1 .

->Charakteristische Gleichung:

λ³ +λ -2=0

(λ-1)(λ²+λ+2)=0

λ₁= 1

λ_2.3= -1/2 ± i (√7)/2

x= C₁ e^t +C₂ e^(-t/2) cos((√7 *t)/2 )+ C₃ e^(-t/2)  sin((√7 *t)/2)

mit AWB: 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

Lösung:

x(t) = 1/28 e^(-t/2) (21 e^((3 t)/2) - √(7) sin((√(7) t)/2) + 35 cos((√(7) t)/2))

Comments

Hallo,

vielen dank für ihre Antwort.

Können Sie bitte mir auch bei 1.Teil helfen?

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Zu1 )

Charakt. Gleichung: k³ -2 k² +k=0

k(k² -2 k +1)=0

k₁=0

k_2.3= 1

x(t)= C₁ +C₂ e^t +C₃ e^t *t

FS { 1 ,e^t , e^t *t}

Jedes Fundamentalsystem besteht aus genau n Funktionen; d.h. n ist die Dimension des Lösungraumes. ->n=3

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Hi

Leider die Lösung von zur Aufgabe 2 war falsch.

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komisch, ich habe diese Aufgabe nochmal gerechnet und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen.