Zeigen Sie: det(A) = det(A)

Question

Hallo, ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar und würde mich über Hilfe freuen! Vielen Dank schon mal

Aufgabe:

Sei $A$ eine Matrix in $M(n \times n, \mathbb{K})$ mit Einträgen $a_{i j}$ für $1 \leq i, j \leq n .$ Sei $A^{\prime}$ die Matrix mit Einträgen $a_{i j}^{\prime}=(-1)^{i+j} a_{i j}$ für $1 \leq i, j \leq n .$

Zeigen Sie: $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)$

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie det(A) = det(A) (Bei unterschiedlichen Einträgen)

Stichworte: matrix,determinante,matrizen

Sei A eine Matrix in M(n × n, K) mit Einträgen a_ij für 1 ≤ i, j ≤ n.

Sei A' die Matrix mit Einträgen a'_ij = (-1)^i+j a_ij für 1 ≤ i,j ≤ n.

Zeigen Sie det(A) = det(A').

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Answer 1

$$\text{Sei } A=(a_{ij})=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{pmatrix} \text{ eine quadratische } n\times n \text{ Matrix.}$$

$$\text{Die Determinante ist nach Definition linear in jeder Spalte und mit } det(A)=det(A^T) \text{ auch in jeder Zeile.}$$

$$\text{Du kannst die Matrix } A' \text{ aus A konstruieren, indem du in jeder Zeile und Spalte } i \\ \text{ wobei } i \text{ ungerade ist, die Spalte und Zeile mit } -1 \text{ multiplizierst, sodass auch die Determinante gleich bleibt. }$$

$$\text{Das Formulieren für Matrizen allgemein überlasse ich dir, allerdings zeige ich} \\ \text{es dir an einem Beispiel: } \\ det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & -4 & -5 \\ -6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ -11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ -16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ -21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & -5 \\ -6 & 7 & -8 & 9 & 10 \\ 11 & -12 & 13 & -14 & -15 \\ -16 & 17 & -18 & 19 & 20 \\ -21 & 22 & -23 & 24 & 25 \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ -6 & 7 & -8 & 9 & -10 \\ 11 & -12 & 13 & -14 & 15 \\ -16 & 17 & -18 & 19 & -20 \\ 21 & -22 & 23 & -24 & 25 \end{pmatrix}$$

$$\text{In diesem Falle wurden die Zeilen und Spalten 1, 3 und 5 jeweils mit -1 multipliziert.}$$