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Hallo MatheLounge Community,

ich prüfe den Integralsatz von Stokes

RandvonAFdr=ArotFdA \int_{Rand von A}^{} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{}^{}\int_{A}^{}rot \vec{F} \cdot d\vec A  

am Beispiel

F=(x2+y2y(xy+ln(x+x2+y2))z) \vec F = \begin{pmatrix} \sqrt{x^2 + y^2} \\ y (xy+ln(x+\sqrt{x^2 + y^2}))\\ z \end{pmatrix}

und dem Einheitskreis A

x2+y21 x^2 + y^2 \leq 1

z=0 z = 0

Hierbei habe ich

RandvonAFdr \int_{Rand von A}^{} \vec{F} \cdot d\vec{r}  

zu π/4 berechnet und

ArotFdA \int_{}^{}\int_{A}^{}rot \vec{F} \cdot d\vec A

zu –π/6.

Beide Ergebnisse müssten aber gleich sein.

Könnt ihr mir bitte sagen, welches dieser beiden Ergebnisse richtig ist?  Dann kann ich gezielter nach meinem Fehler suchen.  Ich habe alles schon mehrmals durchgerechnet.  Vielen Dank!!!

Hier geht es um den Integralsatz von Stokes.  Siehe auch Integralsatz von Gauß:

https://www.mathelounge.de/740082/divergenzsatz-zeigen-an-einem-beis…

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Hallo,

Ihr habt aber auch Integrale!

Noch eine Frage: Was ist A?

Gruß

δA ist der Einheitskreis

Hallo Peter, ja, meine Beispiele sind durchaus nicht-trivial.  -  Danke für den Hinweis.  Ich werde in der Aufgabe präzisieren, was A ist.

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Hallo,

ich habe beides durchgerechnet und erhalte zweimal π/4 als Ergebnis.

Hier die Skizze meines Rechenwegs für das Flächenintegral:

r(r,φ)=r(cos(φ)sin(φ)0)dA=ezdA=ezrdrdφrotF=ezy2=ezr2sin2(φ)ArotFdA=A<ez,ez>r2sin2(φ)rdrdφ=02πsin2(φ)dφ01r3dr=π14\vec{r}(r,\varphi)=r\begin{pmatrix} cos(\varphi)\\sin(\varphi)\\0 \end{pmatrix}\\ d\vec{A}=e_z dA=e_z rdrd\varphi\\ rot\vec{F}=e_z y^2=e_z r^2sin^2(\varphi)\\ \int_{A} rot\vec{F}d\vec{A}=\int_{A}<e_z ,e_z> r^2sin^2(\varphi) rdrd\varphi\\ =\int_{0}^{2\pi}sin^2(\varphi)d\varphi\int_{0}^{1}r^3dr=\pi \cdot\frac{1}{4}

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Hallo Gastjc, vielen Dank für deine Hilfe!  Ich hatte beim Integrieren gleich zwei Fehler gemacht.  Jetzt kann ich wieder ruhig schlafen.  Vielen Dank!!!

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