0 Daumen
138 Aufrufe

Aufgabe:


\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{x^2*e^x}{(e^x-1)^2} \)


Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Aufgabe berechnen? wie gehen die einzelnen schritte worauf muss ich achten?

von

2 Antworten

0 Daumen

Hi,

das x² hat gegenüber dem e^{x} keine Chance und kann ignoriert werden. Damit ist der Nenner deutlich stärker als der Zähler und der Grenzwert lässt sich mit 0 angeben.


Grüße

von 137 k 🚀
das x² hat gegenüber dem ex keine Chance und kann ignoriert werden.

Diese Aussage ist das Produkt langjähriger Erfahrung.
Sowas hilft Fragestellern nicht immer.

Da hast Du vermutlich recht. Wenn man diese Erfahrung nicht hat oder verwenden darf kann man über l'Hospital (mehrfach anwenden) zum gleichen Schluss kommen.

Danke für die Antwort aber ich kann mir grad nichts drunter vorstellen

Probier zweimal l'Hospital anzuwenden

genau das ist mein Problem. ich will l´hospital anwenden aber ich weiß nicht wie.

also ich muss das ganze ja ableiten, Nenner: die e funktion bleibt erhalten die x^2 wird zu 2x  Zähler: da würde die 1 wegfallen und die e funktion bleibt wieder erhalten.

Gehe zurück in die Zeit, als du deine Hochschulzugangsberechtigung erworben hast, und bilde die Ableitungen mit der damals kennengelernten Produktregel und/oder Kettenregel.

Ich bin fertig mit der Ausbildung und versuche in meiner Freizeit matheaufgabe zu lösen das wars  aber  trotzdem vielendank

Beachte bitte die Produkt- und Kettenregeln. Außerdem hast Du Zähler und Nenner vertauscht ;).


Hier eine Idee meinerseits mit einer Vereinfachung zuvor -> \((e^x-1)^2 = (e^x)^2\)

\(\frac{x^2\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{x^2}{e^x}\)

Zähler ableiten:

\(z'(x) = 2x\)

Nenner ableiten:

\(n'(x) = e^x\)

Das hilft uns leider noch nicht eine endgültige Aussage treffen zu können, also nochmals:

\(z''(x) = 2\)

\(n''(x) = e^x\)

Das kann man nun erkennen. Kann man auch so aufschreiben

\(\lim \frac{x^2\cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \lim \frac{x^2\cdot e^x}{(e^x)^2}\)

\(= \text{l'H} = \lim \frac{2x}{e^x}\)

\(= \text{l'H} = \lim \frac{2}{e^x} = 0\)


Einverstanden?

Hier eine Idee meinerseits mit einer Vereinfachung zuvor ->


Wo sind da 2ex und 1 geblieben?

Wie meinen?       .

Du hast geschrieben, dass (ex-1)²=(ex)² wäre.

Ja? Mit dem Vorsatz, dass das als Vereinfachung erachtet wird.

0 Daumen

= lim (e^2*x^2)/(e^2x -2e^x+1)

kürzen mit e^x:

lim x^2/(e^x-2+1/e^x) = x^2/(e^x-2)

L'Hospital 2-mal anwenden:

2x/e^x → 2/e^x = 0 für x gg.oo

von 42 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community