Wievielmal so groß ist die Fläche des neuen Sechsecks?

Question

Gegeben sei ein regelmäßiges Sechseck. In jedem Eckpunkt wird das Lot auf genau einer Sechsecksseite errichtet und mit der Verlängerung der im positiven Drehsinn nächsten Seite geschnitten. Die so erhaltenen Schnittpunkte sind Eckpunkte eines neuen regelmäßigen Sechsecks (siehe Abbildung).

Wievielmal so groß ist die Fläche des neuen Sechsecks gegenüber der Fläche des ursprünglichen Sechsecks?

Answer 1

Hallo Roland,

die Aufgabe ist nicht schwer ...

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Man braucht nur einen einen kleinen Ausschnitt zu betrachten und das Verhältnis der Radien der beiden Umkreise der Sechsecke zu berechnen. Die Radien sind hier grün und rot dargestellt.

$$\begin{aligned} |MM_a| &= \frac 12 \sqrt 3 \, r\\ |BA'| &= 2|MM_a| = \sqrt 3 \, r \\ |A'M| &= \sqrt{\left( \frac r2\right)^2 + (|MM_a| + |BA'|)^2} \\ &= \sqrt 7\, r \end{aligned}$$Demnach ist die Fläche des großen Sechsecks siebenmal so groß.

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Comments

Das Sechseck ist genauso groß wie das Viereck von denen sechs in den Zwischenraum passen :

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@Roland: diese Lösung von hj ist viel besser als die in meiner Antwort.

Es gilt mal wieder die bekannte Regel: nichts verhindert das Auffinden einer guten Lösung so stark, wie eine bereits bekannte (bzw. offensichtliche) :-(

Answer 2

Comments

@ hj2166: Trotz schlechter Tonqualität konnte ich die richtige Lösung heraushören.

Ein Scherzkeks bist und bleibst du.

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Die Lösungen sind ja sehr schön, doch auch kompliziert.

Winkel A'AB= 180°-2×60°=60°

Winkel ABA'=90°

Winkel BA'A=30°

A (groß) / A (klein) = r(groß)² / r(klein)²

sei r(klein)=1 = AB= MA=MB

r(groß)= MA'

da cot(30°)=√3

Kann ich die Koordinaten der Punkte leicht aufschreiben.

Es sei A(0;0) und B(0;1)

Dann wird A'(1×cot (30°);1)

d.h. A'(√3;1) und M(-√3 / 2; 1/2)

A'M²  = 3*9/4 + 1/4 =7

Also wird die Fläche 7 mal so groß

Wer eine Zeichnung benötigt, findet bei Werner Salomon wieder einmal alles was das Herz begehrt.

Durch meine Methode, können aber auch ähnliche Aufgaben gelöst werden, denn es müssen nur mit den vorgegebenen Winkeln die Koordinaten der äußeren Eckpunkte per Vowärtsschnitt (Sinussatz) berechnet und damit kann dann das Quadrat des großen Radius berechnet werden.