Aloha :)
Du kannst die Summe der Grenzwerte nur in 2 einzelne Grenzwerte aufteilen, wenn du sicher weißt, dass beide Grenzwerte für sich existieren. Daher musst du hier zur Vorbereitung der Anwendung der Regel von L'Hospital beide Summanden zu einem Bruch zusammenfassen:
$$L=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1+\ln x}{(x-1)\ln x}$$Wir stellen fest, dass Zähler und Nenner jeweils \(0\) ergeben wenn wir \(x=1\) einsetzen. Also dürfen wir die Regel von L'Hospital verwenden:$$L=\lim\limits_{x\to1}\frac{1+\frac{1}{x}}{\ln x+(x-1)\cdot\frac{1}{x}}$$
Jetzt erkennt man, wie pathologisch der Grenzwert tatsächlich ist. Der Zähler geht gegen \(2\), aber der Nenner geht von unten her gegen \(0\), falls \(x\nearrow1\) und von oben her gegen \(0\), falls \(x\searrow1\). Das heißt:$$L=\left\{\begin{array}{l}-\infty &\text{für}& x\nearrow1\\+\infty &\text{für}& x\searrow1\end{array}\right.$$Die Funktion divergiert daher für \(x\to1\).
