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Aufgabe:

Mit Hilfe des Mittelwertsatzes soll ich zeigen, dass

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a})^2$$

für jedes a>0 und a aus den reellen Zahlen konvergiert.


Problem/Ansatz:

Der Mittelwertsatz sagt mir, dass es im Intervall (a,b) ein x0 gibt, an dem die Tangente an dem Graphen die gleiche Steigung hat, wie die Sekante durch die Intervallgrenzen.

Leider sehe ich den Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit und der Reihenkonvergenz nicht.

von

n√(a+1) - n√a =  ( n√(a+1) - n√a ) / ( (a+1) - a )

Danke für die Hilfe!


Nun habe ich folgenden Ansatz:
Ich habe mir nun eine Funktion f definiert mit

x geht auf $$\sqrt[n]{x}$$

Nun weiß ich nach dem Mittelwertsatz, dass dann mein Ausdruck $$\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a}$$ gleich der Ableitung an meinem xentspricht.

Diese wäre gegeben durch $$\frac{1}{n}x^{(1-n)/n}$$

Kann ich den Ausdruck in der Summe dann ersetzen und so zeigen, dass die Reihe konvergiert?

Genau das solltest du tun.

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