Gradienten berechnen & kritische Stellen anhand der Lagrange-Multiplikator-Bedingung finden

Question

Aufgabe:

(Optimierung)

Wir betrachten $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto 3 x y-4 x$ und $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto y^{3}-x$
(a) Berechnen Sie die Gradienten von $f$ und $g$.
(b) Skizzieren Sie $M=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid g\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=0, x \in[-1,8]\right\}$ und die Nullstellenmenge von $f$
(c) Finden Sie die kritischen Stellen von $f$ auf $M,$ d.h. die Punkte $\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in M,$ die die Lagrange-Multiplikator-Bedingung erfüllen.
(d) Finden Sie das Minimum und das Maximum von $f$ auf $M$

Problem/Ansatz:

Hallo Mathelounge-Community,

komme bei dieser Hausübung nicht weiter und würde es begrüßen, wenn mir jemand helfen könnte.

,

Mathekoala

Comments

Kannst Du die Gradienten nicht ausrechnen?

Answer 1

Hallo,

bei was genau kommst Du nicht weiter? Das Ableiten sollte doch keine Problem sein:$$\text{grad}\, f = \begin{pmatrix} 3y-4\\3x \end{pmatrix} \\ \text{grad}\, g = \begin{pmatrix} -1\\3y^2 \end{pmatrix}$$ zu (b) forme $g(x,y) = y^3-x = 0$ nach $y$ um und gebe es im Plotlux-Plotter ein:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x^(1/3)f₂(x) = -(-x)^(1/3)Zoom: x(-2…9) y(-3…4)

die Nullstellenmenge von $f$ ist die Menge aller Paare $(x,y)$ für die $f(x,y) = 0$. Da $$\begin{aligned} f(x,y) &= 3xy - 4x \\ &= x(3y - 4) \end{aligned}$$ ist das der Fall, wenn entweder $x=0$ oder $y= 4/3$ ist:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x^(1/3)f₂(x) = -(-x)^(1/3)Zoom: x(-2…9) y(-3…4)x = 0f₃(x) = 4/3

oben als grüne und lilafarbende Gerade eingezeichnet.

zu (c): die zu maximierende Funktion ist $f$ mit der Nebenbedingung $g=0$. Gibt die Lagrange-Funktion nebst Ableitungen:$$\begin{aligned} L(x,y,\lambda) &= 3xy - 4x + \lambda (y^3-x) \\ \text{grad}\, L &= \begin{pmatrix} 3y-4\\3x \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1\\3y^2 \end{pmatrix} \to 0 \\ \implies \lambda &= 3y - 4 \\ 0&= 3x + (3y-4) \cdot 3y^2 \\ x &= (4-3y)y^2\\\end{aligned}$$Einsetzen in die Nebenbedingung $g(x,y)=0$:$$\begin{aligned} y^3 - x &= 0 \\ y^3 - (4-3y)y^2 &= 0 \\ 4(y-1) y^2 &=0 \end{aligned}$$führt dann zu den kritischen Punkten $(x=0;\, y=0)$ und $(x=1;\, y = 1)$.

zu (d): bevor man jetzt mit der Hessematrix kommt reicht auch ein Blick auf die Funktion. $f(1,1)$ ist ein lokales Minimum und $f(0,0)$ (jeweils bei $g=0$) ist ein Sattelpunkt.

Das wird klarer, wenn man sich die Höhenlinien ansieht. Ich habe im nächsten Plot die Höhenlinie für $f=-1$ eingezeichnet (gelb):

Plotlux öffnen

f₁(x) = x^(1/3)f₂(x) = -(-x)^(1/3)Zoom: x(-2…9) y(-3…4)x = 0f₃(x) = 4/3f₄(x) = (-1+4x)/(3x)P(1|1)

man sieht, dass die gelbe Höhenlinie, die blaue Kurve $g=0$ in $(1;\,1)$ berührt. Hier liegt ein Extremum vor. Da $f$ an dieser Stelle nach links oben ansteigt, ist es ein Minimum.

Die grüne Gerade $x=0$ ist die Höhenlinie für $f=0$ (s.o. bei (b)). Sie verläuft in $(0;\,0)$ parallel zu $g=0$ und $g=0$ 'überquert' die Höhenlinie. Daher ist dass hier nur ein Sattelpunkt.