Question

Finden Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems:
$$\vec{y}^{\prime \prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} -7 & 1 \\ 1 & -7 \end{array}\right) \vec{y}(t)$$

kann mir jemand erklären, wie man diese Frage löst?

Answer 1

Hallo,

1) y1'' = -7y1 +y2

2) y2'' = y1 -7y2

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2') y2'' = y1 -7y2

y1=y2'' +7y2

   y1'=y2''' +7y2'

  y1''=y2'''' +7y2'' ->Einsetzen in 1)

----->

y2'''' +7y2''  = -7y1 +y2

y2'''' +7y2''  = -7(y2'' +7y2) +y2

y2'''' +7y2''  =  -7y2'' -49 y2 +y2

y2'''' +14y2''  +48 y2  =0

->Charakt, Gleichung :

k⁴ +14 k² +48=0

(k²+6)(k²+8)=0

k1.2= ± 2i √2

k3.4= ± i √6

-->

y₂=C₁ cos(2√2 x) +C₂ sin(2√2 x) +C₃ cos(√6 x) +C₄ sin(√6 x)

y₁=y₂'' +7y₂