Wird die Transformationsmatrix durch die bereits berechneten Eigenvektoren dargestellt oder muss man da noch was …

Question

Aufgabe:

Gegeben irgendeine 3x3 Matrix

->Gib die Transformationsmatrix B an

Problem/Ansatz:

Wird die Transformationsmatrix durch die bereits berechneten Eigenvektoren dargestellt oder muss man da noch was zusätzlich rechnen, damit man auf die Transformationsmatrix kommt?

Comments

Die Frage ist so völlig unklar

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A= 2   -1      2
    -1   10     -2
     2   -2       5

Gib die Transformationsmatrix B an

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Bzgl. welcher Basis B? Was soll denn wohin transformiert werden?

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Text erkannt:

Aufgabe 3 Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörige Eigenvektoren der Matrix
$$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right)$$
Geben Sie außerdem die Transformationsmatrix $B$ und die inverse Matrix $B^{-1}$ an, so dass $B^{-1} \cdot A \cdot B$ Diagonalgestalt hat.

Text erkannt:

Aufgabe 3 Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörige Eigenvektoren der Matrix
$$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right)$$
Geben Sie außerdem die Transformationsmatrix $B$ und die inverse Matrix $B^{-1}$ an, so dass $B^{-1} \cdot A \cdot B$ Diagonalgestalt hat.

Das ist die Aufgabenstellung
LG

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Nun ergibt das alles Sinn, ich schreibe mal eine Antwort! :)

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alles klar danke!

Answer 1

Eine Matrix $A\in \mathbb{R}^{3\times 3}$ heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix $D$ ist. Also, wenn ein $S\in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ exisitiert, so dass $D=B^{-1}AB$ eine Diagonalmatrix ist.

Du kannst dieses Problem in ein Eigenwertproblem übertragen:$$B^{-1}AB=D=\begin{pmatrix}\lambda _1&0 & \cdots & 0\\0&\lambda_2&\ddots & \vdots \\\vdots &\ddots&\ddots&0\\0& \cdots&0&\lambda_n \end{pmatrix} \implies A=BDB^{-1}$$$$ABe_i=B(De_i)=\lambda_i\underbrace{Be_i}_{=:x_i}\implies Ax_i=\lambda_ix_i \quad ,\, x_i\neq0$$ Wir berechnen also zu Beginn die Eigenwerte von $A$:$$\chi_A(\lambda)=\det (A-\lambda E)=-\lambda^3+6\lambda^2-\lambda-14\overset{!}=0$$

Faustregel: In den meisten Beispielen, die du rechnen wirst, liegt ein Eigenwert auf der Hauptdiagonale oder der Eigenwert ist Null, so auch hier.

Eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\chi _A$ ist $\lambda_1=2$. Du kannst nun eine Polynomdivison durchführen, um auf $-\lambda^2+4x+7=0$ zu kommen. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen $\lambda_{2,3}=2\pm \sqrt{11}$.

Tipp zur Überprüfung der Korrektheit der Eigenwerte:

Es lässt sich zeigen, dass die Spur von $A$ (das ist die Summe der Hauptdiagonalenelemente) der Summe der Eigenwerte entspricht. Es gilt:$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=6=-1+2+5=\operatorname{spur}(A)$ Das stimmt.

Eigenräume zu den Eigenwerten berechnen:

Für $\lambda=2$ gilt:$$\text{Eig}_A(2)=\ker \left(\begin{array}{ccc} -3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)=\left \langle \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix}\right \rangle$$ Für $\lambda=2+\sqrt{11}$:$$\text{Eig}_A(2+\sqrt{11})=\ker \left(\begin{array}{ccc} -3-\sqrt{11} & -1 & 0 \\ -1 & -\sqrt{11} & 1 \\ 0 & 1 & 3-\sqrt{11} \end{array}\right)=\left \langle \begin{pmatrix} -10+3\sqrt{11}\\-3+\sqrt{11}\\1\end{pmatrix}\right \rangle$$ Den dritten Eigenvektor (d. h. den zu $\lambda_3$) erhältst du, da $A$ symmetrisch ist, über das Kreuzprodukt der beiden vorher errechneten Eigenvektoren. Also:$$\text{Eig}_A(2-\sqrt{11})=\left \langle \begin{pmatrix} -10-3\sqrt{11}\\-3-\sqrt{11}\\1 \end{pmatrix}\right \rangle$$ Insgesamt gilt dann, dass $B=\begin{pmatrix} 1& -10-3\sqrt{11}& -10+3\sqrt{11}\\ -3& -3-\sqrt{11}& -3+\sqrt{11}\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0& 2-\sqrt{11} & 0 \\ 0 &0 & 2+\sqrt{11} \end{pmatrix}$. Die Inverse der Transformationsmatrix zu berechnen, überlasse ich dir!

Comments

Das ist schnell gemacht :D

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Ich bin nur durch die ganzen Rechnungen gegangen, da ich gerade auch Lineare Algebra lerne ;)

Aber auch, wenn ich ein Newbie bin in dem Thema, sind die Rechnungen alle korrekt. Du kannst das hier bestätigen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+%7B%7B-1%2C-1%2C0%…

Answer 2

(1) Eigenwerte bestimmen. Berechne dazu die Lösungen von $$\det \left( A - \lambda I \right) = 0$$

(2) Danach die Eigenvektoren berechnen zu jedem Eigenwert. Die Matrix die die Eigenvektoren als Spaltenvektoren enthält ist die gesuchte Transformationsmatrix.

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Text erkannt:

$\begin{array}{l}\vec{x}_{n}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \quad \vec{x}_{2}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) & i^{-7} 3\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \\ \text { Trasformatiensmalin } & \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0\end{array}\right) \\ \text { odr } & \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)\end{array}$

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Zu welchen Eigenwerten sollen denn die angegebenen Vektoren Eigenvektoren sein?

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Meine Frage hat sich mit der Antwort von racine_carrée erübrigt.
LG