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Folgende Aufgabe habe ich bekommen:

$$\text{Sei } \mathbb{K} \text{ ein Körper und } U:=\left\{A=\left(\begin{array}{cc}a & 0 \\ b & c\end{array}\right): \operatorname{det}(A)=1\right\} \subset \mathbb{K}^{2 \times 2} \\ \text{Zeigen Sie, dass } (U, \cdot) \text{ eine Gruppe ist.}$$

Leider weiß ich nicht so richtig wie ich die Abgeschlossenheit und die Existenz der Inversen hier zeigen soll.

Könnte mir einer helfen?

von

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Ich gehe mal davon aus, dass \(\cdot\) einfach die übliche Multiplikation ist.

Assoziativität:

Für alle \(A,B,C\in U\) gilt, dass: \(\left(A\cdot B\right)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)\). Da sich quadratische Matrizen addieren und multiplizieren lassen und überdies alle Assoziativ- und Distributivgesetze erfüllen, besitzt die Menge aller quadratischen Matrizen über einem Körper eine Ringstruktur. Und \(U\) ist offensichtlich eine Teilmenge der Menge aller quadratischen Matrizen.

Existenz neutraler Elemente:

Zu zeigen ist, dass es ein \(E\in U\) gibt, so dass für alle \(A\in U\) gilt, dass \(E\cdot A=E\). Kannst du dieses \(E\) explizit angeben? Tipp: Einheitsmatrix :P

Existenz inverser Elemente:

Zu zeigen: Zu jedem \(A\in U\) gibt es ein \(A^{-1}\in U\) mit \(A^{-1}\cdot A=E\). Da \(\det(A)=1\neq 0\), exisitiert \(A^{-1}\). Fraglich ist nur, ob diese auch in \(U\) leigt, denn es müsste ja \(\det A^{-1}=1\) gelten. Allerdings ist \(\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}\). Das macht aber genau in diesem Fall keinen Unterschied, denn \(1^{-1}=1\). Glück gehabt. Damit ist die Existenz eines solchen Elements immer gesichert und es gilt sogar \(A^{-1}\in U\).

Zusatz: Die Gruppe ist aber nicht abelsch, denn Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

Zur Abgeschlossenheit: Was passiert denn, wenn man zwei Matrizen aus \(U\) multipliziert? Das Produkt zweier unterer Dreiecksmatrizen sollte immer noch eine untere Dreiecksmatrix sein.

von 27 k

Addendum zur Abgeschlossenheit:

Da det(A)=1, folgt, dass ac=1 sein muss. Damit ist gewährleistet, dass zumindestens die Hauptdiagonalenelemente ungleich Null sind.

Unterschiede also eventuell in die Fälle b=0 und b≠0.

Das Produkt zweier Diagonalmatrizen ist aber auch noch eine Diagonalmatrix.

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