Wie berechne ich hier die Extrempunkte? Kuvendiskussion

Question

Aufgabe

f(x) = 2x^4 - 8x^2 + 8

Problem/Ansatz:

Dies ist eine Übungsaufgabe und ich solle die Kurvendiskussion davon zeichen. Daher liegen mir die berechneten Extrem;Wende; Nullpunkte schon vor doch ich komme nicht drauf, wie ich auf die Werte komme.

Minimum: Pmin1 (Wurzel aus 2/ 0); Pmin2 (-Wurzel aus 2/ 0)

Maximum: Pmax (0/8)

Wie berechne ich hier die Extrempunkte?

Wenn ich die 2. Funktion ableite, erhalte ich

f´´(x) = 8x^3 - 16x

Ich kann weder die PQ Formel nutzen, noch komme ich irgendwie weiter wenn ich hier x ausklammer. Jedenfalls sehe ich das nicht..

Vielleicht kann mir hier jemand mal behilflich sein :)

Answer 1

f´(x) = 8x^3 - 16x = 0 

<=>  x*(8x^2 - 16)=0

Produkt =0 nur wenn mind. einer der Faktoren = 0, also

x=0   oder  8X^2 = 16

<=>  x=0  oder X^2 = 2

<=>   x=0   oder x=√2    oder   x=-√2

Das sind die x-Werte möglicher Extrempunkte.

Answer 2

f(x) = 2x^4 - 8x^2 + 8

bei dieser Aufgabe kannst du ersetzen
x^2 = z. Dann hast du
f(z) = 2 * z^2 - 8 * z + 8
Also eine quadratische Funktion
Für diese kannst du Null-, Extrem- und Wendestellen
leicht berechen
Nullstellen
2 * z^2 - 8 * z + 8  = 0 | : 2
z^2 - 4 * z + 4 = 0
( z - 4 ) ^2 = 0
z - 4 = 0
z = 4
rückersetzen
x^2 = 4
x = + 2
x = -2

Bei Bedarf nachfragen

Comments

Bei Bedarf nachfragen

Sagen dir die binomischen Formeln etwas?

Und warum will man die substituierte Funktion Funktion auf Extrem- und Wendestellen untersuchen?

Answer 3

Funktion & Ableitungen
f(x) = 2·x^4 - 8·x^2 + 8
f'(x) = 8·x^3 - 16·x
f''(x) = 24·x^2 - 16

Symmetrie
Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse, weil x nur in geraden Potenzen auftritt.

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = 8

Nullstellen f(x) = 0
2·x^4 - 8·x^2 + 8 = 0
2·z^2 - 8·z + 8 = 0 → z = 2 (2-fach)
x = ±√2 (jeweils 2-fach)

Extrempunkte f'(x) = 0
8·x^3 - 16·x = 8·x·(x^2 - 2) = 0 → x = 0 ∨ x = ±√2

f(0) = 8 → HP(0 | 8)
f(±√2) = 0 → TP(±√2 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0
24·x^2 - 16 = 0 → x = ±√(2/3)

f(±√(2/3)) = 32/9 → WP(±√(2/3) | 32/9)