Aufgabe:
b) Die Darstellungsmatrix lautet:
$$ A=\left(f\left(e_{1}\right) f\left(e_{2}\right) f\left(e_{3}\right)\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$
Der Kern von \( f \) ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems \( A \vec{x}=\overrightarrow{0} . \) Das Gauss-Jordan Verfahren liefert:
$$ \left(\begin{array}{lll|l} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) $$
Die Variable \( z \) ist frei, d.h.: \( z=\lambda, \) mit \( \lambda \in \mathbb{R} . \) Es folgt: \( x=\lambda \) und \( y=-\lambda \). Somit lautet die Lösungsmenge:
$$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda \\ -\lambda \\ \lambda \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \text { mit } \lambda \in \mathbb{R} $$
Es folgt: \( \operatorname{ker}(f)=\operatorname{Lin}\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right) \) und \( \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f))=1 \)
Die Dimension von \( \Im(f) \) ist \( 2, \) denn die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform 2 führende Einsen besitzt. Die \( 1 . \) und \( 3 . \) Spaltenvektoren von \( A \) sind linear unabhängig. Daraus folgt:
$$ \Im(f)=\operatorname{Lin}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\mathbb{R}^{2} $$
Die Abbildung \( f \) ist nicht bijektiv, da \( \operatorname{ker}(f) \neq\{\overrightarrow{0}\} \)
Hatte alles richtig ausser beim Bild(f) der Darstellungsmatrix. Sind nicht Lin((1 0), (1 1)) lin. unabhängig? Weil diese
sind ja die zwei führenden Variablen und (0 1) ist ja der freie Vektor.
Welche Überlegungsfehler mache ich?
Liebe Grüsse
