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Aufgabe:


1. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt


a) f(x) = \( x^{4} \) - 10\( x^{2} \) + 9

b) g(x) = 1/2 x^5 - 2\( x^{3} \)



2. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den die Graphen der Funktionen f und g einschließen


a) f(x) = x^4 - x^3     und   g(x) = 1 - x



b) f(x) = \( \frac{4}{x^2} \) - 5   und g(x) = -x^2          mit D = ℝ








Kann mir jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen? Ich blick nicht durch.








Vielen Dank

von

3 Antworten

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Beste Antwort

f(x) = x^4 - 10x^2 + 9

Erst mal die Nullstellen  f(x)=0

Die liegen bei -3 , -1 und 1 und 3.

Wegen der Symmetrie brauchst du es nur von 0 bis 3

zu betrachten und dann verdoppeln.

Allerdings liegt ja zwischen 0 und 3 noch eine

Nullstelle, also musst du 2 Integrale berechnen

und die Beträge davon addieren:

Von 0 bis 1 gibt es 88/15

und von 1 bis 3 sind es -304/15 , der

Betrag also 304/15 und somit die Gesamtfläche

im positiven x-Bereich  88/15+304/15 = 392/15

und das mal 2 gibt für die gesuchte Flächenmaßzahl 784/15.

Bei der 2. Funktion ist es symmetrisch zum

Ursprung und die Nullstellen sind -2, 0 und 2.

Integriere also von 0 bis 2 und verdoppele den Betrag des

Ergebnisses.

von 196 k 🚀

Danke für die Antwort!

Ich habe Probleme mit dem integrieren, leider...

Wo hakt es denn ?

Ich habe Probleme mit der Stammfunktion und dem “aufleiten”

Hallo,

$$f(x)=x^4-10x^2+9$$

nimm dir einen Summanden nach dem anderen vor:

zuerst die nächsthöhere Potenz wählen, von x4 ist das x5. Dann die Zahl vor dem x4 durch 5 teilen ⇒ \( \frac{1}{5} x^5\)

\(-10x^2\) - die nächsthöhere Potenz ist 3, dadurch wird auch geteilt ⇒ \(- \frac{10}{3} x^3\)

an die 9 wird x angehängt.

Die Stammfunktion lautet also

$$F(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{10}{3}x^3+9x$$

Danke! Was ist die Stammfunktion von b) Und was mache ich bei 2)?

Wenn du eine Stammfunktion wissen möchtest dann kann dir z.B.

https://www.integralrechner.de/

weiterhelfen.

Was ist die nächsthöhere Potenz von \(x^5\) bzw. von \(x^3\)?

\( \frac{1}{2} :6=?, -2:4=?\)

zu 2)

Die blaue Fläche muss berechnet werden

blob.png


Du berechnest zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Dann bildest du die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x), davon die Stammfunktion und berechnest das Integral zwischen den beiden Schnittpunkten.

Dann bildest du die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x)

Kleine Anmerkung. Wenn man als erstes die Differenzfunktion bildet, dann sind die Schnittstellen die Nullstellen der Differenzfunktion. Man spart sich dann das zweimalige Zusammenfassen der Terme.

Wie bildet man die Differenzfunktion? Ich habe die Schnittpunkte zu a) S(-1 | 2) & (1 | 0)


b) S (-2 | -4)

  S (-1 | -1)

  S (1 | -1)

  S (2 | -4)

Danke, das merke ich mir.

Wie bildet man die Differenzfunktion?

Man Subtrahiert die Funktionsterme voneinander

d(x) = (x^4 - x^3) - (1 - x)
d(x) = x^4 - x^3 - 1 + x
d(x) = x^4 - x^3 + x - 1

Nutze auch dazu evtl. Tools wie Wolframalpha um eine Kontroll-Lösung zu erhalten.

Ist die Differenzgleichung h(x) = x^4 - x^3 - 1 - x? Und wenn ja, wie bilde ich die Stammfunktion nun? Ist die Stammfunktion: H(x) = 1/5x^5 - 1/3x^4 - 1x - 1/2x^2?

Ist die Differenzgleichung

Ich habe oben die Differenzfunktion doch schon zur Kontrolle angegeben.

Und um deine Stammfunktion zu kontrollieren kannst du ein Hilfsmittel wie Wolframalpha verwenden.

blob.png

Oh! Dankeschön!

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Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt

Hast du schon mal versucht, die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen?

Melde dich wieder, wenn du sie hast.


Flächeninhalt, den die Graphen der Funktionen f und g einschließen

Hast du inzwischen berechnet, an welchen Stellen sich die beiden Funktionsgraphen schneiden?

von 17 k

Wie genau mache ich das?

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Hier nur meine Kontrollösungen.

Solange ich nicht weiß wo konkret die Probleme sind kann ich schlecht gezielt helfen.

1.a)

A = 2·ABS(∫(x^4 - 10·x^2 + 9, x, 0, 1)) + 2·ABS(∫(x^4 - 10·x^2 + 9, x, 1, 3)) = 784/15 = 52.27

1.b)

A = 2·ABS(∫(1/2·x^5 - 2·x^3, x, 0, 2)) = 16/3 = 5.333

2.a)

A = ABS(∫((x^4 - x^3) - (1 - x), x, -1, 1)) = 8/5 = 1.6

2.b)

A = 2·ABS(∫((4/x^2 - 5) - (- x^2), x, 1, 2)) = 4/3 = 1.333

von 342 k 🚀

Dankeschön!

Ich verstehe jedoch nicht was ich bei 2 machen soll. Soll ich bei 2 genauso wie bei 1 vorgehen? Also, erstmal Nullstellen berechnen und dann integrieren?

Bei zwei würde ich zunächst die Differenzfunktion bilden

d(x) = f(x) - g(x)

und mit der Differenzfunktion gehst du wie bei 1. vor.

Ich habe bei a) -1/2 raus..


Das ist meine Stammfunktion: 1/5x^5 - 1/4x^4 - 1x + 1/2x^2


Und eingesetzt habe ich einmal den Schnittpunkt x = - 1 und und x = 1. Also, integral von -1 bis 1.


Was habe ich falsch gemacht?

Ein typischer Fehler ist die -1 beim Einsetzen nicht zu klammern. Was du genau verkehrt gemacht hast kann man mangels fehlender Lösung nicht erkennen.

F(1) = 1/5·1^5 - 1/4·1^4 + 1/2·1^2 - 1 = -11/20

F(-1) = 1/5·(-1)^5 - 1/4·(-1)^4 + 1/2·(-1)^2 - (-1) = 21/20

F(1) - F(-1) = -11/20 - 21/20 = -32/20 = -1.6

Davon muss man jetzt noch den Betrag nehmen. Also im Grunde genommen nur das negative Vorzeichen ignorieren.

Die Fläche Betragt 1.6 FE.

Die Stammfunktion ist richtig, also hast du dich irgendwo verrechnet:

$$|\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}-(-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+1+\frac{1}{2})|\\ =|\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}|\\ =|\frac{2}{5}-2|=|-1,6|=1,6$$

Danke!

Zu 2b): Was ist die Stammfunktion und berechne ich den Integral von -1 bis 1 nur?


Meine Differenzfunktion zu b): h(x) = 4x^(-2) - 5 + x^2


Wäre die Stammfunktion dann: H(x) = -1/4x^(-1) - 1/5x + 1/3x^3

Die Differenzfunktion ist

$$h(x)=4x^{-2}-5-x^2$$

Deren Nullstellen sind bei -2, -1, 1 und 2

Die Stammfunktion lautet

$$H(x)=-4x^{-1}-5x-\frac{1}{3}x^3$$

Es reicht, wenn du zum Beispiel das Integral von 1 bis 2 berechnest und das verdoppelst, s. Skizze

blob.png


Dankeschön! Mein Ergebnis ist A = - 48. Ist das so richtig? -44/3 - 28/3 = -24 • 2 = -48

Ich geb es auf. Was meinst du wozu ich oben Kontroll-Lösungen hingeschrieben habe.

Wenn du wenigststens eine Komplette Rechnung hingeschribieben hättest, hätte man evtl. noch etwas korrigieren können aber so? Ich geb es auf.

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