Wieso ist die freie Variable im Bild(f)?

Question

Aufgabe:

b) Die Darstellungsmatrix lautet:
$$A=\left(f\left(e_{1}\right) f\left(e_{2}\right) f\left(e_{3}\right)\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$
Der Kern von $f$ ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems $A \vec{x}=\overrightarrow{0} .$ Das Gauss-Jordan Verfahren liefert:
$$\left(\begin{array}{lll|l} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$
Die Variable $z$ ist frei, d.h.: $z=\lambda,$ mit $\lambda \in \mathbb{R} .$ Es folgt: $x=\lambda$ und $y=-\lambda$. Somit lautet die Lösungsmenge:
$$\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda \\ -\lambda \\ \lambda \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \text { mit } \lambda \in \mathbb{R}$$
Es folgt: $\operatorname{ker}(f)=\operatorname{Lin}\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right)$ und $\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f))=1$
Die Dimension von $\Im(f)$ ist $2,$ denn die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform 2 führende Einsen besitzt. Die $1 .$ und $3 .$ Spaltenvektoren von $A$ sind linear unabhängig. Daraus folgt:
$$\Im(f)=\operatorname{Lin}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\mathbb{R}^{2}$$
Die Abbildung $f$ ist nicht bijektiv, da $\operatorname{ker}(f) \neq\{\overrightarrow{0}\}$

Hatte alles richtig ausser beim Bild(f) der Darstellungsmatrix. Sind nicht Lin((1 0), (1 1)) lin. unabhängig? Weil diese

sind ja die zwei führenden Variablen und (0 1) ist ja der freie Vektor.

Welche Überlegungsfehler mache ich?

Liebe Grüsse

Answer 1

Sind nicht Lin((1 0), (1 1)) lin. unabhängig?

Ja, deshalb ist

Lin((1 0), (1 1)) =  Lin((1 0), (1 1), (0,1) ).

Comments

und Lin((1,0),(0,1)) ist ja die Basis von Bild(f) und wieso nicht Lin((1,0),(1,1))?

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Das Bild ist ja der ganze R².

Je zwei lin. unabhängige Vektoren bilden

da eine Basis. Es gibt nie DIE Basis sondern immer viele.

Answer 2

Hallo

dass ganz R² erreicht wird heisst ja nicht, dass die Funktion  bijektiv ist nur surjektiv , da 0 viele Urbilder hat da der Kern ja ≠0 ist

Gruß lul