0 Daumen
245 Aufrufe

Aufgabe:


b) Die Darstellungsmatrix lautet:
$$ A=\left(f\left(e_{1}\right) f\left(e_{2}\right) f\left(e_{3}\right)\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$
Der Kern von \( f \) ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems \( A \vec{x}=\overrightarrow{0} . \) Das Gauss-Jordan Verfahren liefert:
$$ \left(\begin{array}{lll|l} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) $$
Die Variable \( z \) ist frei, d.h.: \( z=\lambda, \) mit \( \lambda \in \mathbb{R} . \) Es folgt: \( x=\lambda \) und \( y=-\lambda \). Somit lautet die Lösungsmenge:
$$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda \\ -\lambda \\ \lambda \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \text { mit } \lambda \in \mathbb{R} $$
Es folgt: \( \operatorname{ker}(f)=\operatorname{Lin}\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right) \) und \( \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f))=1 \)
Die Dimension von \( \Im(f) \) ist \( 2, \) denn die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform 2 führende Einsen besitzt. Die \( 1 . \) und \( 3 . \) Spaltenvektoren von \( A \) sind linear unabhängig. Daraus folgt:
$$ \Im(f)=\operatorname{Lin}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\mathbb{R}^{2} $$
Die Abbildung \( f \) ist nicht bijektiv, da \( \operatorname{ker}(f) \neq\{\overrightarrow{0}\} \)


Hatte alles richtig ausser beim Bild(f) der Darstellungsmatrix. Sind nicht Lin((1 0), (1 1)) lin. unabhängig? Weil diese

sind ja die zwei führenden Variablen und (0 1) ist ja der freie Vektor.

Welche Überlegungsfehler mache ich?


Liebe Grüsse

von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Sind nicht Lin((1 0), (1 1)) lin. unabhängig?

Ja, deshalb ist

Lin((1 0), (1 1)) =  Lin((1 0), (1 1), (0,1) ).

von 270 k 🚀

und Lin((1,0),(0,1)) ist ja die Basis von Bild(f) und wieso nicht Lin((1,0),(1,1))?

Das Bild ist ja der ganze R^2.

Je zwei lin. unabhängige Vektoren bilden

da eine Basis. Es gibt nie DIE Basis sondern immer viele.

0 Daumen

Hallo

dass ganz R^2 erreicht wird heisst ja nicht, dass die Funktion  bijektiv ist nur surjektiv , da 0 viele Urbilder hat da der Kern ja ≠0 ist

Gruß lul

von 93 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community