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Aufgabe:

Hey ich hänge gerade ewig an einer Aufgabe und finde keinen richtigen Ansatz diese zu lösen:

Die Aufageb Lautet: Bestimme, falls existent, den Grenzwert

von Lim x->0  (1-cos(2x)) / (x*sin(x))

laut wolfram alpha soll der Grenzwert = 2 sein jedoch würde ich gern wissen wie man darauf kommt.

von

Hallo,

"würde ich gern wissen wie man darauf kommt."

Kennst Du den Satz von l'Hospital? Sollte das nicht der Fall sein, könntest Du die trigonometrischen Funktionen mithilfe ihrer Taylorreihen darstellen.

Gruß

Hey MathePeter,

beim anwenden con L'hospital

bekomme ich dann:

lim x->0 (2 sin(2x)) / (-cos(x))

wodurch ich dann auf den Grenzwert 0/-1 komme welcher sehr wahrscheinlich nicht korrekt ist

3 Antworten

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Beste Antwort

Hier nur direkt nur mit dem Satz von L'Hospital:

lim (x → 0) (1 - COS(2·x))/(x·SIN(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (2·SIN(2·x))/(SIN(x) + x·COS(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (4·COS(2·x))/(2·COS(x) - x·SIN(x))

= (4·1)/(2·1 - 0·0) = 4/2 = 2

von 446 k 🚀
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Nutze den Fakt, dass \(\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\).

von 27 k
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Verwende cos(2x) = 1 - 2sin(x)^2

==> (1-cos(2x)) / (x*sin(x))

 = 1-(1-2sin(x)^2) / (x*sin(x))

= 2 sin(x)^2 / (x*sin(x))   mit sin(x) kürzen

= 2 sin(x) / x

und der GW von sin(x) / x für x gegen 0 ist 1.

von 270 k 🚀

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