Question

Wie lautet die Umkehrfunktion von x+e^x? rechnerisch ermittelt

Comments

Sollst du sie wirklich angeben oder nur nachweisen, dass sie existiert?

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Ich soll von der Umkehrung die Ableitung rechnerisch ermitteln. Dazu wäre die Umkehrfunktion nicht schlecht.

Existieren tut sie ja, weil sie monoton steigend ist, und kein Wendepunkt besitzt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Um die Umkehrfunktion explizit anzugeben, bräuchtest du die Lambertsche W-Funktion.

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Existieren tut sie ja, weil sie monoton steigend ist, und kein Wendepunkt besitzt.

Sie existiert, aber das sichert dir alleine noch nicht, dass du sie auch schön hinschreiben kannst - oder genauer: Es ist nicht gesagt, dass die Umkehrfunktion als Verkettung elementarer Funktionen darstellbar ist. Und das ist sie hier auch nicht. Die Ableitung hingegen schon.

Answer 1

Wenn es nur um die Ableitung der Umkehrfunktion geht, verwendest du die Umkehrregel$$(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{1+e^x}$$

Answer 2

Aloha :)

Hier ist eine Funktion $f(x)=x+e^x$ gegeben. Ihre Umkehrfunktion nennen wir $g(x)$, also $g(x):=f^{-1}(x)$. Da hier nicht nach der Umkehrfunktion $g(x)$, sondern nach ihrer Ableitung $g'(x)$ gefragt ist, kannst du ausnutzen, dass die beiden Funktionen sich in ihrer Wirkung gegenseitig aufheben. Für alle $x$ aus der Definitionsmenge gilt nämlich:$$f(\,g(x)\,)=x$$Da dies für alle $x$ gilt, ist es eine Identität und wir können beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander ableiten. Auf der linken Seite verwenden wir dafür die Kettenregel:$$f'(\,g(x)\,)\cdot g'(x)=1$$Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch $f'(\,g(x)\,)$ und können die Ableitung der Umkehrfunktion sofort ausrechnen:$$g'(x)=\frac{1}{f'(\,g(x)\,)}=\frac{1}{1+e^x}$$

Comments

Ist das wirklich die Antwort auf die Frage:

"Wie lautet die Umkehrfunktion von x+ex? rechnerisch ermittelt" ?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+x%2Be%5Ex

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Ich soll von der Umkehrung die Ableitung rechnerisch ermitteln. Dazu wäre die Umkehrfunktion nicht schlecht.

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Warum ist denn $f^\prime\big(g(x)\big)=1+\mathrm e^x$ ?