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Aufgabe und Lösung (Aufgabenteil (a)):

Bildschirmfoto 2020-08-10 um 17.12.04.png

Text erkannt:

Aufgabe G3 (Taylorpolynom I) Sei
$$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=(2 x+y)^{2}-4 x\left(x-\frac{1}{2}\right)-y(y+1)+9 $$
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von \( f \) in \( (1,1)^{T} \).
(b) Schätzen Sie den Wert von \( f \) für \( x=(2,0)^{T} \) und bestimmen Sie den Fehlerterm. Was fällt Ihnen dabei auf? Begrunden Sie Ihre Beobachtung.
Lösungshinweise:
(a) Gesucht ist
$$ T_{2, f}\left((x, y)^{T},(1,1)^{T}\right)=f(1,1)+\nabla f(1,1)\left((x, y)^{T}-(1,1)^{T}\right)+\frac{1}{2}\left((x, y)^{T}-(1,1)^{T}\right)^{T} H_{f}(1,1)\left((x, y)^{T}-(1,1)^{T}\right) $$
Wir haben
$$ \nabla f(x, y)=(4 y+2,4 x-1)^{T}, \quad H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{array}\right) $$
somit ist
$$ \nabla f(1,1)=(6,3)^{T}, \quad H_{f}(1,1)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{array}\right) $$
Also gilt
$$ T_{2, f}\left((x, y)^{T},(1,1)^{T}\right)=4 x y+2 x-y+9=f(x, y) $$


Problem/Ansatz:

Ich verstehe den allerletzten Schritt nicht. Wie man auf die Hessematrix und ∇ f(1,1) kommt versteh ich. Allerdings davon dann auf T2,f((x,y)^T, (1,1)^R) = 4xy + 2x - y + 9 zu kommen ist mir schleierhaft :(

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank!!

von

1 Antwort

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Aloha :)

Im letzten Schritt wurden die zuvor ermittelten Größen in die Taylor-Formel eingesetzt:$$T_{2;f;(1;1)}(x;y)=f(1;1)+\nabla f(1;1)\binom{x-1}{y-1}+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\,H_f(1;1)\,\binom{x-1}{y-1}$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+\binom{6}{3}\binom{x-1}{y-1}+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+6(x-1)+3(y-1)+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\binom{4(y-1)}{4(x-1)}$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+6(x-1)+3(y-1)+2(x-1)(y-1)+2(y-1)(x-1)$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+6(x-1)+3(y-1)+4(xy-y-x+1)$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=4xy+2x-y+9$$

von 128 k 🚀

Top! Perfekt gezeigt, schon verstanden, danke!

Kleinigkeit noch.. von der 4. letzten auf die 3. letzte Zeile hast du welche Rechenregel benutzt?

Mir ist nicht genau klar, welche Stelle du meinst. Ich vermute mal, es geht um die Matrix- bzw. Vektoroperationen:$$=14+\binom{6}{3}\binom{x-1}{y-1}+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}$$Hier habe ich die Hesse-Matrix mit dem Vektor rechts daneben multipliziert, das Ergebnis ist ein Vektor:$$\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}=\binom{4(y-1)}{4(x-1)}$$Im nächsten Schritt habe ich dann die Skalar-Multiplikation ausgeführt:$$\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\binom{4(y-1)}{4(x-1)}=2(x-1)(y-1)+2(y-1)(x-1)$$

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