Weshalb ist x0 = 1?

Question

Berechnung:

\( x^{3} \cdot x^{7} \cdot x^{-3} \cdot x^{-9} \cdot x^{2}=x^{3+7-3-9+2}=x^{0}=1 \)

Frage:

Weshalb wird x⁰ zu 1?

Comments

Es ist so festgelegt. Irgendwas hoch 0 ergebt immer 1. Egal ob Zahlen, Variablen oder Konstanten

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@Surprise

Das erklärt nicht, wieso es sinnvoll ist, es so festzulegen.

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0⁰ = 0, fantastisch.

Answer 1

Was passiert wenn du folgende Rechnungen ausrechnest. Fällt dir etwas an den Ergebnissen auf?

2⁴ =

2³ =

2² =

2¹ =

2⁰ =

Man könnte sagen 2⁰ ist die logische Fortführung dieser Aufgaben.

Du kannst auch mit den Potenzgesetzen Argumentieren

x³ / x³ = x^(3 - 3) = x⁰

Wenn du das Ergebnis der linken Seite x³ / x³ kennst, dann kannst du auch das Ergebnis von x⁰.

Answer 2

Aus dem Alltag:

Lege Kapital 0 Jahre an (Einzahlen auf gleich wieder abheben). Dann ergibt sich:

K*q⁰ = K

--> q⁰= 1 da K*1 = K

Answer 3

Wenn man zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert, werden die Exponenten subtrahiert.

Zunächst gilt das nur für  natürliche Zahlen als Exponenten und wenn die Differenz der Hochzahlen positiv ist, also z.B. 5⁷/5³=5^(7-3)=5⁴.

Erweitert man die Regel auf alle ganzzahligen Exponenten, erhält man z.B.

1=5⁷/5⁷=5^(7-7)=5⁰

Allgemein: a⁰=1 für a≠0.

Natürlich muss dann noch nachgewiesen werden, dass solche Definitionen den bisher festgelegten Rechenregeln nicht widersprechen.

PS: 0⁰ ist nicht definiert, weil nicht eindeutig klar ist, ob es 0 oder 1 sein soll.