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Aufgabe

Gleichungssystem mit 3 Variablen durch Einsetzungsverfahren lösen

2x+3y+5z=8

x+y-2z=7

3x-y+z=2


Problem/Ansatz

zunächst stelle ich in der letzten Zeile nach z um

z=-3x+y+2

dies setzte ich in die 1. Zeile ein

2x+3y+5(-3x+y+2)=8

das Ergebnis kann ich wieder nach der Variablen umstellen, habe mir y gewählt

y=13/8x+1/4

die Umstellungen für y und z setzte ich jetzt in die zweite Gleichung ein und erhalte x=2,1

Setze ich den x Wert nun in die Umstellungen von y und z erhalte ich y=3,6 und z=-0,7

Die Ergebnisse unterscheiden sich sehr stark von den im TR errechneten Werten - was wahrscheinlich an den Brüchen liegt?

Ist das Gleichungssystem dennoch richtig gelöst und kann ich bei jeder Gleichung so vorgehen?

von

3 Antworten

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2·x + 3·y + 5·z = 8
x + y - 2·z = 7
3·x - y + z = 2 --> z = - 3·x + y + 2

2·x + 3·y + 5·(- 3·x + y + 2) = 8 --> y = 13·x/8 - 1/4

Da hast du vermutlich einen Vorzeichenfehler irgendwo gemacht. Prüfe das mal.

Theoretisch könntest du so vorgehen. Das Einsetzungsverfahren ist aber wie du eventuell merkst wesentlich aufwendiger als das Additionsverfahren

2·x + 3·y + 5·z = 8
x + y - 2·z = 7
3·x - y + z = 2

I - 2*II ; III - 3*II

y + 9·z = -6
7·z - 4·y = -19

II + 4*I

43·z = -43 --> z = -1

von 446 k 🚀
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Du sollest grundsätzlich so vorgehen, dass Du eine Gleichung in BEIDE anderen einsetzt, so daß Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast. Das Verfahren reduziert n Gleichungen auf n-1 Gleichungen und man verheddert sich nicht...

1. {2x + 3y + 5z = 8, x + y - 2z = 7, 3x - y + z = 2}

2. { z = -3x + y + 2}

3.{-13x + 8y + 10 = 8, 7x - y - 4 = 7 }

4.{y = 7x - 11}

5.{43x - 78 = 8}

x=2

jetzt kannst Du mit 4. y bestimmen und beide in 2. einsetzen...

von 18 k

Ich komme mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
zun gleichen Ergebnis und denke gerade, dass es doch ein Einsetzverfahren ist, nur dass die Schreibweise etwas anders ist.

2 3 5  8
1 1 -2 7
3 -1 1 2

1 1 -2 7
0 1  9 -6
0 -4 7 -19

1 0 -11 13
0 1   9    -6
0  0  43 -43

1 0 0      2 = x
0 1  0     3 = y
0  0  1   -1 = z

Kann man sagen...

Du hast zuerst x eingesetzt (eliminiert) und mit den Gleichunge(y,z)  weitergerechnet und zuerst z bestimmt.

Und wenn ich

{2x+3y+5z=8, x+y-2z=7 , 3x-y+z=2}

{x = 2.1, y = 3.6, z = -0.7} einsetze erhalte ich

{11.5 = 8, 7.1 = 7, 2 = 2}

eine flasche Aussage!

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Allgemeine Vorgensweise

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * x + 7 * y = 12
3 * x + 6 * y = 1

4 * x + 7 * y = 12  | * 3
3 * x + 6 * y = 1  | * 4

12 * x + 21 * y = 36
12 * x + 24 * y = 4 | abziehen
--------------------------
21y - 24y = 32

So kannst du auch aus 3 Gleichungen mit
3 Unbekannten 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
machen.
Kann das an deinem Beispiel auch mal vorführen.

von 122 k 🚀

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