Eingeschlossenen Flächeninhalt mithilfe von Integralrechnung bestimmen

Question

Aufgabe: die Aufgabe ist das ich den Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossene Fläche berechnen soll. Mithilfe der Integralrechnung. Schnittpunkte habe ich jetzt den Rest kriege ich leider auch nicht hin. Dankeschön☺️

Gegeben ist:

F(x)= -x⁴+5x²

G(x)= x²

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wie ich den Flächeninhalt bestimmen soll.

Answer 1

Hallo,

du bildest von der Differenzfunktion $-x^4+4x^2$ die Stammfunktion und berechnest z.B. das Integral von -2 bis 0. Wie du aus der Skizze von Tschakabumba siehst, sind die Funktionen symmetrisch zur y-Achse, so dass du den Integralwert dann nur noch verdoppeln musst.

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Du musst die Differenz der beiden Funktionen bilden und von einer Nullstelle zur nächsten integrieren:$$d(x)=F(x)-G(x)=(-x^4+5x^2)-x^2=-x^4+4x^2=-x^2(x^2-4)$$$$\phantom{d(x)}=-x^2(x-2)(x+2)$$Die Nullsellen liegen bei $-2;0;2$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = -x⁴+5x²f₂(x) = x²P(-2|4)P(2|4)P(0|0)Zoom: x(-3…3) y(-3…10)

Damit lautet die gesuchte Fläche:

$$F=\left|\,\int\limits_{-2}^0(-x^4+4x^2)\right|+\left|\,\int\limits_{0}^2(-x^4+4x^2)\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{0}^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{0}^2\right|=\frac{64}{15}+\frac{64}{15}=\frac{128}{15}$$