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Aufgabe:

Seinen V,W Vektorräume über einem Körper K und f,g lineare Abbildungen von V nach W. Gilt dann stets

1. Bild(f + g) ⊂ Bild(f) + Bild(g) ?

2. Bild(f) ∪ Bild(g) ⊂ Bild(f + g) ?


Problem/Ansatz:

Von Aufgabe 1 habe ich hier bereits eine Antwort gesehen.

Sei y ∈ Bild(f+g)  ==>  ∃ x∈V   y=(f+g)(x)  = f(x) + g(x)

Da u:=f(x) ∈ Bild(f)  und w:=g(x) ∈ Bild(g)

existieren also u: ∈ Bild(f)  und w ∈ Bild(g)

mit y =  u + w

also y ∈ Bild(f+g)

Allerdings habe ich keine Idee, wie ich Aufgabe 2 lösen kann. Ich würde mich über Hilfe freuen.

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Bei 1.) meintest du bestimmt yy\in Bild(f)+(f)+Bild(g)(g).

2.) stimmt nicht. Wir betrachten V=W=R2V=W=\mathbb{R}^2 mit den linearen Abbildungen

f :  R2R2,(xy)(xx+y)g :  R2R2,(xy)(2xy) f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} -x\\x+y\end{pmatrix}\\[10pt] g:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} 2x\\-y\end{pmatrix}

Sei y : =(23)R2y:=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2.Dann hat man mit u : =(13)u:=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} auch g(v)=yg(v)=y, sodass yy\in Bild(f)(f)\cupBild(g)(g) folgt.


Es gilt aber nun

f+g :  R2R2,(xy)(xx) f+g: \ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x\\x\end{pmatrix}

womit kein vR2v\in \mathbb{R}^2 mit (f+g)(v)=y(f+g)(v)=y existiert, also yy\notin Bild(f+g)(f+g) gilt.

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Vielen Dank!

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Bild(f) ∪ Bild(g) ⊂ Bild(f + g) 

ist im allg. falsch. Gegenbeispiel

f : R2 → R2  mit f(x,y) = (x,0) und

g : R2 → R2  mit g(x,y) = (-x,0) .

Dann ist Bild(f) = Bild(g) = { (z;0) | z ∈ ℝ }

Aber (f+g)(x,y) = ( 0;0) für alle (x,y) ∈ R2.

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