Bei 1.) meintest du bestimmt \(y\in\) Bild\((f)+\)Bild\((g)\).
2.) stimmt nicht. Wir betrachten \(V=W=\mathbb{R}^2\) mit den linearen Abbildungen
$$ f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} -x\\x+y\end{pmatrix}\\[10pt] g:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} 2x\\-y\end{pmatrix} $$
Sei \(y:=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2\).Dann hat man mit \(u:=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\) auch \(g(v)=y\), sodass \(y\in\) Bild\((f)\cup\)Bild\((g)\) folgt.
Es gilt aber nun
$$ f+g: \ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x\\x\end{pmatrix}$$
womit kein \(v\in \mathbb{R}^2\) mit \((f+g)(v)=y\) existiert, also \(y\notin \) Bild\((f+g)\) gilt.
