Zeige, dass auch AB-BA eine schiefsymmetrische Matrix ist, wenn A und B schiefsymmetrisch sind

Question

Seien A und B schiefsymmetrische Matrizen in \( \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

Zeige, dass auch AB-BA eine schiefsymmetrische Matrix ist.

Ansatz: Also ich weiß, dass für schiefsymmetrische Matrizen folgendes gilt: A^T = -A <=> A^T + A = 0.

Also muss ich zeigen, dass (AB-BA)^T + (AB-BA) = 0 ist.

Bis hierher kam ich:

$$(AB-BA)^T + (AB-BA) = (B^TA^T-A^TB^T)+(AB-BA)$$

Ich sehe leider keinen Ansatz wie ich den ganzen Term auf die Nullmatrix bekomme.

Answer 1

Aloha :)

Deine Überlegungen sind richtig. Du musst allerdings auch irgendwie die vorausgesetze Schiefsymmetrie von \(A\) und \(B\) ausnutzen:$$(AB-BA)^T+(AB-AB)=(\underbrace{B^T}_{=-B}\;\underbrace{A^T}_{=-A}-\underbrace{A^T}_{=-A}\;\underbrace{B^T}_{=-B})+(AB-BA)$$$$=(-B)(-A)-(-A)(-B)+AB-BA=BA-AB+AB-BA=0$$

Answer 2

(B^T A^T−A^T B^T)+(AB−BA)

Vor. anwenden:

=-B*(-A) - (-A*-B) +AB−BA

= BA  - AB + AB - BA  = 0