Normalform matrix erläutern

Question

Aufgabe:

Ich arbeite gerade mein Skript durch und da stellt sich mir die Frage, was versteht man unter der Normlaformmatrix? Damit meine ich nicht die Jordan Normalformel.

$\begin{pmatrix} Er & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist in Bücher wird mit der Normalform etwas anderes gemeint als bei uns im Skript.

" Eine mxn Matrix A heißt Normalformmatrix, falls sie von der Form .... ist, wobei 0≤i≤r mit ai,i≠0

Ein Beispiel

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Ist damit gemeint, dass die Normlaformmatrix in Zeilestufenform gebracht wird ?

Comments

Hallo

dein Beispiel scheint das zu sagen, deine Definition ist unlesbar, die a müssten 2 Indices haben, r ist nicht definiert, die Pünktchen sagen was?

Gruß lul

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Stellt die Zeilenstufenfrom die Normlafrom Matrix dar ? Ich verstehe es einfach nicht, weil durch elementare Umformungen kann man jeden Matrix in diese Form bringen.

$\begin{pmatrix} Er & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Answer 1

Hallo,

erinnert mich an folgendes:

Sei $n=\dim V$ und $m=\dim W$, $\varphi : V\to W$ linear und $r=\dim\varphi(V)$. Dann exisitieren Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ mit $M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}(\varphi)=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, wobei $E_r$ die $r\times r$-Einheitsmatrix ist.

Beispiel:

Gegeben sei $A=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{3\times 4}$. Wir wollen nun geordnete Basen $\mathcal{B}$ von $\mathbb{R}^4$ und $\mathcal{C}$ von $\mathbb{R}^3$ bestimmen, so dass die Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}(\varphi_A)$ die obige Form hat.

Dafür brauchen wir die Basen vom Kern und dem Bild. Es gilt:$$\ker \varphi _A=\left \langle \begin{pmatrix} 12\\7\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 10\\6\\1 \\ 0 \end{pmatrix}\right \rangle$$$$\varphi_A(\mathbb{R}^4)=\left \langle \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\right \rangle$$ Für die Urbilder der angebenen Basisvektoren vom Bild $\varphi_A(\mathbb{R}^4)$ gilt:$$\varphi _A\left(\begin{pmatrix} -5\\-3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}, \quad \varphi _A\left(\begin{pmatrix} 3\\2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$ Insgesamt hat man dann folgende geordnete Basis $\mathcal{B}$ des $\mathbb{R}^4$:$$\mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} -5\\-3\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\\2\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 12\\7\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 10\\6\\1\\0\end{pmatrix}\right)$$ Ergänzt man nun die Basis des Bildes im $\mathbb{R}^3$ zu einer geordneten Basis $\mathcal{C}$ des $\mathbb{R}^3$, erhält man:$$\mathcal{C}=\left(\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\right)$$ Insgesamt gilt dann, dass $$M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}(\varphi_A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$