Multiindexnotation partielle Ableitungen

Question

, ich beschäftige mich momentan mit der Multiindexnotation bei partiellen Ableitungen, und würde gernen für n=2 folgende Gleichheit verifizieren:

$$D^β x^α = \begin{pmatrix} α\\β \end{pmatrix} x^ {α-β}$$

Wenn also n= 2 ist erhalte ich:

$$D^β x^α= D^{β_1} D^{β_2} (x_1) ^{α_1} (x_2)^{α_2}$$

aber mir ist nicht klar, wie ich das auf die allgemeine Formel oben übertragen soll, vielleicht sieht es jemand von euch.

LG

Comments

Die Gleichheit gilt doch gar nicht?

n = 1, $\beta_1 = 5$, $\alpha_1 = 7$, dann ist $$D_1^{\beta_1} x_1^{\alpha_1} = D_1^5 x_1^7 = 7 \cdot 6 \cdot \dotsm \cdot 3 \cdot x^2 \neq \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} x_1^{7-5}$$

Es sollte wohl

$$D^β x^α = \begin{cases} \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)!} x^ {α-β} & \beta \le \alpha \\ 0 & \textrm{sonst} \end{cases}$$

heißen.

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Hallo, ja, das habe ich vergessen, β<=α soll gelten. Aber wie kommst du auf den Ausdruck für

$$D^β x^α$$ wenn $$β<=α$$gilt ?

LG

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Es gilt doch auch

$$\frac{\textrm{d}^ b}{\textrm{d}x^b} x^a = \frac{a!}{(a-b)!} x^{a-b}$$

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Okay vielen Dank dir :)

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Dir sollte dann aber auch die Beweisidee klar sein.

$$D^\beta = D_1^{\beta_1} \dotsm D_n^{\beta_n}$$

Du leitest also partiell $\beta_1$ mal nach $x_1$, $\beta_2$ mal nach $x_2$, ... und $\beta_n$ mal nach $x_n$ ab.

$$x^{\alpha} = x_1^{\alpha_1} \dotsm x_n^{\alpha_n}$$

also ist

$$D^\beta x^\alpha = (D_1^{\beta_1} \dotsm D_n^{\beta_n}) (x_1^{\alpha_1} \dotsm x_n^{\alpha_n})= D_1^{\beta_1} x_1^{\alpha_1} \dotsm D_n^{\beta_n} x_n^{\alpha_n}$$

D.h. du musst einfach nur die Formel vom eindimensionalen Fall n mal einsetzen und erhältst dann wieder die gleiche Formel aber eben in Multiindexnotation.

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Ok, das heißt der Knackpunkt ist eigentlich, dass ich die partiellen Ableitungen "sortieren" kann ?