Zeigen Sie mittels der Chebyshev-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl geworfener Sechser …

Question

Aufgabe 9.6 (2 Punkte): Ein fairer Würfel werde $n$ -mal geworfen. Zeigen Sie mittels der Chebyshev-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl geworfener Sechser zwischen $\frac{1}{6} n-\sqrt{n}$ und $\frac{1}{6} n+\sqrt{n}$ liegt, mindestens $\frac{31}{36}$ beträgt. Lösung: $X$ ist $\operatorname{Bin}\left(n, \frac{1}{6}\right)$ -verteilt, also $\operatorname{Var}(X)=\frac{5}{36} n .$ Damit ist
$$\mathrm{P}\left(\left|X-\frac{n}{6}\right| \leq \sqrt{n}\right)=1-\mathrm{P}\left(\left|X-\frac{n}{6}\right|>\sqrt{n}\right) \geq 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{n}=\frac{31}{36}$$
wobei für die Abschätzung die Chebyshev-Ungleichung verwendet wurde.

Warum ist 1-P(X-1/n > wurzel (n) größer gleich 1- Var(x)/n ? Verstehe die Ungleichung nicht :)

Comments

"Verstehe die Ungleichung nicht :)"

Das ist doch in dem Satz, der darüber steht, ebenso wie in der Überschrift erklärt: Chebyshev-Ungleichung

Gruß

---

nach der ungleichung muss da ein "kleiner gleich stehen", dort steht aber ein größer gleich

Answer 1

Was Du zeigen musst, ist doch

$$\mathbb{P} \left\{ \frac{1}{6}n-\sqrt{n} \le X \le \frac{1}{6}n+\sqrt{n} \right\} = \mathbb{P} \left\{ \left| X - \frac{1}{6}n\right| \le \sqrt{n} \right\} \ge \frac{31}{36}$$

Und das ist doch genau die Tschebyscheffsche Ungleichung.

Comments

Danke für die Antwort, so ist mir das jetzt klar.

Könntest du noch die erklären wie du die Umformungen gemacht hast. :)

---

Das ist nur die Definition des Betrages.

Also $|x| < \epsilon$ gilt genau dann, wenn gilt $-\epsilon < x < \epsilon$

---

Verstanden, vielen Dank! :)