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Aufgabe 9.6 (2 Punkte): Ein fairer Würfel werde n n -mal geworfen. Zeigen Sie mittels der Chebyshev-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl geworfener Sechser zwischen 16nn \frac{1}{6} n-\sqrt{n} und 16n+n \frac{1}{6} n+\sqrt{n} liegt, mindestens 3136 \frac{31}{36} beträgt. Lösung: X X ist Bin(n,16) \operatorname{Bin}\left(n, \frac{1}{6}\right) -verteilt, also Var(X)=536n. \operatorname{Var}(X)=\frac{5}{36} n . Damit ist
P(Xn6n)=1P(Xn6>n)1Var(X)n=3136 \mathrm{P}\left(\left|X-\frac{n}{6}\right| \leq \sqrt{n}\right)=1-\mathrm{P}\left(\left|X-\frac{n}{6}\right|>\sqrt{n}\right) \geq 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{n}=\frac{31}{36}
wobei für die Abschätzung die Chebyshev-Ungleichung verwendet wurde.

Warum ist 1-P(X-1/n > wurzel (n) größer gleich 1- Var(x)/n ? Verstehe die Ungleichung nicht :)

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"Verstehe die Ungleichung nicht :)"

Das ist doch in dem Satz, der darüber steht, ebenso wie in der Überschrift erklärt: Chebyshev-Ungleichung

Gruß

nach der ungleichung muss da ein "kleiner gleich stehen", dort steht aber ein größer gleich


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1 Antwort

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Beste Antwort

Was Du zeigen musst, ist doch

P{16nnX16n+n}=P{X16nn}3136 \mathbb{P} \left\{ \frac{1}{6}n-\sqrt{n} \le X \le \frac{1}{6}n+\sqrt{n} \right\} = \mathbb{P} \left\{ \left| X - \frac{1}{6}n\right| \le \sqrt{n} \right\} \ge \frac{31}{36}

Und das ist doch genau die Tschebyscheffsche Ungleichung.

Avatar von 39 k

Danke für die Antwort, so ist mir das jetzt klar.


Könntest du noch die erklären wie du die Umformungen gemacht hast. :)

Das ist nur die Definition des Betrages.

Also x<ϵ |x| < \epsilon gilt genau dann, wenn gilt ϵ<x<ϵ -\epsilon < x < \epsilon

Verstanden, vielen Dank! :)

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