Zeigen Sie, dass νZ := ν ◦Z^−1 ein wohldefiniertes Maß auf (Ω' , A') ist.

Question

Seien \( (\Omega, \mathcal{A}, \nu) \) ein MaBraum, \( \left(\Omega^{\prime}, \mathcal{A}^{\prime}\right) \) ein messbarer Raum und \( Z \) eine \( \mathcal{A}-\mathcal{A}^{\prime} \) messbare Abbildung. Zeigen Sie, dass \( \nu_{Z}:=\nu \circ Z^{-1} \) ein wohldefiniertes Maß auf \( \left(\Omega^{\prime}, \mathcal{A}^{\prime}\right) \) ist.

Ich habe derzeit keine Ahnung für diese Aufgabe. Was soll ich zuerst machen?

Comments

Hast jemand eine Idee?

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Du musst zuerst begründen, warum die Abbildung wohldefiniert ist. \( \nu_Z \) soll auf \( \mathcal{A}' \) definiert sein.

Sei \( M \in \mathcal{A}' \), dann ist $$ \nu_Z(M) = \nu(\underbrace{Z^{-1}(M)}_{\in \mathcal{A} ?}) $$

\( \nu \) ist auf \( \mathcal A \) definiert, die Urbilder unter Z müssen also in dieser \( \sigma\)-Algebra liegen. Begründe warum das der Fall ist.

Anschließend musst du nur noch die 3 Eigenschaften eines Maßes nachrechnen.

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Hallo, hier ist meine Lösung,

1) V(∅) = V o Z (∅) = V(∅) = 0

2) Sei A ⊂ B ∈ A'

dann gilt: Z^-1 (A) ⊂ Z^-1 (B)

Da V Maß ist, folgt V (Z^-1 (A))  ⊆  V(Z^-1 (B))

3) Sein A1, A2,... paarweise disjunkt

V_Z (U A_i ) = V o Z^-1(U A_i ) = V (U Z^-1(A_i) ) = \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}  \) V (Z^-1(A_i)

                             i∈ℕ              i∈ℕ

V_z ist ein Maß.

Ist es richtig?

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Ist es richtig?

Ja, sollte so okay sein.