Termumformung nach k (e-Funktion)

Question

wir behandeln im Unterricht gerade das Thema e-Funktionen. Bei einer Aufgabe sollten wir den Parameter k so bestimmen, dass das Integral den angegebenen Wert hat. Soweit so gut, nur leider scheitert es bei mir bei der Termumformung.

Es handelt sich um folgenden Term:

1-e^k=e-1

Comments

Integral?

Term? Das ist doch schon eine Gleichung.

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Ja, dann eben so. Das mit dem Integral sollte nicht verwirren, das habe ich bereits alleine hinbekommen. Mir geht es nur darum, die Gleichung nach k umzuformen.

Answer 1

Hi,

also, wenn Du das so meinst, wie Du das schreibst, würde ich so vorgehen:

\(1-e^k = e-1 \quad |+e^k -e+1\)

\(e^k = 2-e \quad|\ln\)

\(k = \ln(2-e)\)

Mehr kann man da nicht machen

Grüße

Comments

Im Reellen nicht, im Komplexen schon.

Allerdings wurde auch nicht beschrieben, in welchem Zahlenbereich k liegen soll.

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Wie ist denn der Logarithmus aus einer negativen Zahl in \(\mathbb R\) definiert?

Oder anders ausgedrückt, wegen \(2-e<0\) und \(e^k>0\) für alle \(k\in\mathbb R\), ist die Gleichung$$e^k=2-e$$in \(\mathbb R\) nicht lösbar. Ich fürchte, hier kommen wir um \(\mathbb C\) nicht herum.

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Doch, da können wir mehr machen,   denn wir könnten sagen, dass dieser Ausdruck nicht definiert ist.

Answer 2

Die Werte sehen eher danach aus, dass wir sie dividieren sollten. Das führt uns dann zur geometrischen Reihe. Keine Ahnung, ob das weiterhilft.

Answer 3

Aloha :)

$$\left.1-e^k=e-1\quad\right|\quad+1$$$$\left.2-e^k=e\quad\right|\quad-e$$$$\left.2-e-e^k=0\quad\right|\quad+e^k$$$$\left.2-e=e^k\quad\right.\quad$$Wegen \(2-e<0\) und \(e^k>0\) gibt es keine Lösung \(k\in\mathbb R\). Wir müssen also zu den komplexen Zahlen \(\mathbb C\) wechseln:$$\left.e^k=2-e=-(e-2)\quad\right|\quad i^2=-1$$$$\left.e^k=i^2\cdot(e-2)\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.k=\ln(i^2\cdot(e-2))\quad\right|\quad\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$$$$\left.k=\ln(i^2)+\ln(e-2)\quad\right|\quad i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=e^{i\frac{\pi}{2}}$$$$\left.k=\ln\left(\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^2\right)+\ln(e-2)\quad\right|\quad (a^b)^c=a^{b\cdot c}$$$$\left.k=\ln\left(e^{i\pi}\right)+\ln(e-2)\quad\right.\quad$$Da wir alle Lösungen suchen, müssen wir die \(2\pi\)-Periode der komlexen \(e\)-Funktion beachten:$$\left.k=\ln\left(e^{i(\pi+2\mathbf Z\pi)}\right)+\ln(e-2)\quad\right|\quad \ln(a^b)=b\cdot\ln (a)$$$$\left.k=i(\pi+2\mathbb Z\pi)\cdot\ln\left(e\right)+\ln(e-2)\quad\right|\quad \ln(e)=1$$$$\left.k=i(\pi+2\mathbb Z\pi)+\ln(e-2)\quad\right.\quad$$

Comments

Darf ich ihn behalten, wenn ich den Fehler gefunden habe? ;-)

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Ah, ein Tippfehler, da ist beim Copy-Pasten ein \(\pi\) stehen gebliebgen. Danke, ich habs korrigiert.

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Nicht , das ich noch komlexen bekomme. Wobei ich schon denke, dass dies mit der Fragestellung wenig zu tun hat.